Exercício 12. Seja X_{1}, X_{2}, \ldots, X_{n} uma amostra aleatória. Determine a priori não informativa de Jeffreys para \theta quando:
X_{1} \mid \theta \sim \operatorname{Poisson}(\theta);

Passo 1

O enunciado pede a priori de Jeffreys para o parâmetro \theta de uma amostra aleatória X_{1},X_{2},\dots,X_{n} com cada X_{i}\mid\theta\sim\mathrm{Poisson}(\theta). O método de Jeffreys diz que
\pi_J(\theta)\propto\sqrt{I(\theta)},
onde I(\theta) é a informação de Fisher do modelo.

Passo 2

Escrevemos a função de verossimilhança para a amostra independente:
L(\theta)=\prod_{i=1}^{n}P(X_{i}=x_{i}\mid\theta) =\prod_{i=1}^{n}e^{-\theta}\frac{\theta^{x_{i}}}{x_{i}!} =e^{-n\theta}\,\theta^{\sum_{i=1}^n x_{i}}\prod_{i=1}^n\frac1{x_{i}!}.
O log-verossimilhança é
\ell(\theta)=\ln L(\theta)=-n\theta+\Bigl(\sum_{i=1}^n x_{i}\Bigr)\ln\theta +\text{constante em }\theta.

Passo 3

Calculamos a derivada segunda de \ell(\theta) em relação a \theta. Primeiro a primeira derivada (score):
\frac{d\ell}{d\theta}=-n+\frac{1}{\theta}\sum_{i=1}^n x_{i}.
Depois a segunda derivada:
\frac{d^{2}\ell}{d\theta^{2}} =-\frac{1}{\theta^{2}}\sum_{i=1}^n x_{i}.

Passo 4

A informação de Fisher é
I(\theta)=-E\!\Bigl[\frac{d^{2}\ell}{d\theta^{2}}\Bigr] =-E\Bigl[-\frac{1}{\theta^{2}}\sum_{i=1}^n X_{i}\Bigr] =\frac{1}{\theta^{2}}\sum_{i=1}^n E[X_{i}] =\frac{n\,\theta}{\theta^{2}} =\frac{n}{\theta}.

Passo 5

Pela regra de Jeffreys, a priori é proporcional à raiz de I(\theta):
\pi_J(\theta)\propto\sqrt{I(\theta)} \propto\sqrt{\frac{n}{\theta}} \propto\theta^{-\tfrac12},
para \theta>0.

Resposta

\pi_J(\theta)\propto\theta^{-\tfrac12},\quad \theta>0.

Exercícios relacionados