Exercício 12. Seja X_{1}, X_{2}, \ldots, X_{n} uma amostra aleatória. Determine a priori não informativa de Jeffreys para \theta quando:
X_{1} \mid \theta \sim p(\cdot \mid \theta), em que p(x \mid \theta)=\theta x^{\theta-1} \mathbb{1}_{(0,1)}(x)𝟙;

Passo 1

O enunciado dá X_{1},\dots,X_{n} i.i.d. com densidade
p(x\mid\theta)=\theta\,x^{\theta-1}\mathbb{1}_{(0,1)}(x),𝟙
e pede a priori de Jeffreys para \theta. Vamos usar a definição de Jeffreys:
\pi_J(\theta)\propto\sqrt{I(\theta)},
onde I(\theta) é a informação de Fisher do modelo.

Passo 2

Escrevemos a log-verossimilhança de uma observação X:
\ell(\theta)=\log p(X\mid\theta) =\log\theta+(\theta-1)\log X.
Derivando em \theta:
\frac{\partial\ell}{\partial\theta} =\frac{1}{\theta}+\log X,
\frac{\partial^2\ell}{\partial\theta^2} =-\frac{1}{\theta^2}.

Passo 3

A informação de Fisher por observação é
I_1(\theta) =-\,\mathbb{E}\!\Bigl[\frac{\partial^2\ell}{\partial\theta^2}\Bigr] =-\Bigl(-\frac{1}{\theta^2}\Bigr) =\frac{1}{\theta^2}.
Para n observações independentes,
I_n(\theta)=n\,I_1(\theta)=\frac{n}{\theta^2}.

Passo 4

A priori de Jeffreys é
\pi_J(\theta)\propto\sqrt{I_n(\theta)} \propto\sqrt{\frac{n}{\theta^2}} \propto\frac{1}{\theta}.
Como n é constante, obtemos
\pi_J(\theta)\propto\frac{1}{\theta}, \quad\theta>0.

Resposta

\displaystyle \pi_J(\theta)\propto\frac{1}{\theta},\;\theta>0.

Exercícios relacionados