Exercício 1.12.3. Utilizando os limites fundamentais, calcule os limites:
lim x +infty(x-4x+5)^x+2.

Passo 1

O enunciado pede para calcular
limxto+inftyl(x-4x+5r)^x+2
utilizando limites fundamentais, em especial o fato de que
limttoinftyl(1+atr)^t=e^a

Passo 2

Vamos reescrever a base da potência como um desvio em relação a 1. Note que
x-4x+5 =(x+5)-9x+5 =1-9x+5

Passo 3

Observe que o expoente x+2 pode ser escrito como (x+5)-3. Logo,
l(1-9x+5r)^x+2 =l(1-9x+5r)^(x+5)-3 =l(1-9x+5r)^x+5 ;l(1-9x+5r)^-3

Passo 4

Aplicamos o limite fundamental à primeira parte: com t=x+5 e a=-9, temos
limxto+inftyl(1-9x+5r)^x+5 =limttoinftyl(1+-9tr)^t =e^-9
A segunda parte tende a
limxto+inftyl(1-9x+5r)^-3=1^-3=1

Passo 5

Multiplicando os resultados das duas partes, obtemos
e^-9times1=e^-9

Resposta

e^-9

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