Exercício 1.13.1. Considere a função:
a) Complete a Tabela 4:
Tabela 4: Item a) do Exercício 1.13.1
-3 -2 1
b) O que se pode concluir sobre baseado na Tabela 4? Calcule .
c) Complete a Tabela 5:
Tabela 5: Item c) do Exercício 1.13.1
0 0,5 0,9 0,99 0,999 1 1,001 1,01 1,1 1,5 2
d) O que se pode concluir sobre baseado na Tabela 5? Calcule .
e) Esboce o gráfico de .

Passo 1

O enunciado define uma função por partes:
f(x)= -5, & x<-2, -x^2+1, & -2<= x<=1, x-1, & x>1
Precisamos:
– (a) preencher valores de f(x) em pontos que se aproximam de -2 (Tabela 4),
– (b) inferir limxto-2f(x) e calcular f(-2),
– (c) preencher valores de f(x) em pontos que se aproximam de 1 (Tabela 5),
– (d) inferir limxto1f(x) e calcular f(1),
– (e) esboçar o gráfico de f.

Passo 2

Como para x<-2 vale f(x)=-5 e para -2<= x<=1 vale f(x)=-x^2+1, preenchemos:
c|ccccccccccc x&-3&-2,5&-2,1&-2,01&-2,001&-2&-1,999&-1,99&-1,9&-1,5&1hline f(x)& -5& -5& -5& -5& -5& -3& -2,996001& -2,9601& -2,61& -1,25& 0

Passo 3

Analisando a Tabela 4:
– Pela esquerda de -2 (valores como -2,001) temos f(x)=-5.
– Pela direita de -2 (valores como -1,999) f(x)to-3.
Como os limites laterais são diferentes, limxto-2f(x) não existe.
No entanto, pela definição,
f(-2)=-(-2)^2+1=-4+1=-3

Passo 4

Para a Tabela 5, entre 0 e 1 usamos -x^2+1; acima de 1 usamos x-1. Assim:
c|ccccccccccc x&0&0,5&0,9&0,99&0,999&1&1,001&1,01&1,1&1,5&2hline f(x)& 1& 0,75& 0,19& 0,0199& 0,001999& 0& 0,001& 0,01& 0,1& 0,5& 1

Passo 5

Da Tabela 5:
– Pela esquerda de 1 (valores como 0,999) temos f(x)to0.
– Pela direita de 1 (valores como 1,001) também f(x)to0.
Logo limxto1f(x)=0.
E pela definição em -2<= x<=1 temos f(1)=-1+1=0.

Passo 6

Esboço de f(x):
– Para x<-2, traçamos a reta horizontal y=-5 (ponto aberto em -2).
– Em -2<= x<=1, desenhamos a parábola invertida y=-x^2+1 (fechada em -2,-3 e em 1,0).
– Para x>1, traçamos a reta y=x-1 (ponto aberto em 1,0).

Resposta

(a) Tabela 4 preenchida como acima.
(b) limxto-2f(x) não existe; f(-2)=-3.
(c) Tabela 5 preenchida como acima.
(d) limxto1f(x)=0; f(1)=0.
(e) Gráfico composto por:
bul<=t reta y=-5 para x<-2,
bul<=t parábola y=-x^2+1 em [-2,1],
bul<=t reta y=x-1 para x>1.

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