Exercício 1.12.3. Utilizando os limites fundamentais, calcule os limites:
lim x 2 3^raizx-3^raiz2x-2

Passo 1

O enunciado pede calcular
limxto23^raizx-3^raiz2x-2
Esse tipo de limite é justamente a definição de derivada da função
f(x)=3^raizx
no ponto x=2. Para resolver, vamos usar o limite fundamental
f'(a)=limxto af(x)-f(a)x-a
e as regras de derivação de exponencial e da função composta (cadeia).

Passo 2

Definimos
f(x)=3^raizx, a=2
Portanto
limxto23^raizx-3^raiz2x-2 =;f'(2)

Passo 3

Vamos calcular f'(x) por regra da cadeia. Primeiro, seja u(x)=raizx=x^1/2.
Então
f(x)=3^u(x),
e pela derivada de uma exponencial geral temos
ddxl(3^ur) =3^u,ln(3),dudx

Passo 4

Agora dudx=ddxx^1/2=12raizx.
Logo
f'(x) =3^raizx;ln(3);12raizx =3^raizx;ln(3)2raizx
Em particular, para x=2:
f'(2) =3^raiz2;ln(3)2raiz2

Resposta

limxto23^raizx-3^raiz2x-2 =3^raiz2;ln(3)2raiz2

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