Seja ( N, d ) um espaço métrico. Dizemos que um subconjunto Q subset N é um subespaço completo de N se o espaço métrico (Q,d|Q times Q) é completo.
i) Sejam M1, ldots, Mn subset N subespaços completos de N. Mostre que M:=M1 cup ldots cup Mn é um subespaço métrico completo de N.
ii) Sejam Malpha subset N, alpha in Lambda, subespaços completos de N. Prove que M:=cap Malpha in Lambda também é um subespaço completo de N.
iii) Seja F subset N um subespaço completo de N. Prove que F é um subconjunto fechado de N.
iv) Sejam ( P, d^prime ) um outro espaço métrico e f: N P uma função contínua que satisfaz
d^prime(f(x), f(y)) >= C d(x, y)
para todo x, y in N e para uma constante C>0 fixa (que independe de x e y ). Mostre que se N é um espaço métrico completo, então f(N) é um subespaço completo de P. Conclua, usando o item i i i ), que nestas condições, se F subset N é um conjunto fechado de N, então f(F) é um conjunto fechado de P.

Passo 1

O enunciado trabalha com espaços métricos completos e subespaços completos, usando sequências de Cauchy, limites e propriedades de união finita, interseção arbitrária e imagens por funções que expandem distâncias. Precisaremos do fato de que em um espaço métrico a convergência de sequências de Cauchy caracteriza completude, da unicidade de limites e de argumentos de “pomba-gaveta” para uniões finitas.

Passo 2

(i) Seja (xk)subset M uma sequência de Cauchy em M=cupi=1^n Mi. Como há apenas n conjuntos, pelo princípio da gaveta existe um índice i tal que (xk) tem uma sub-sucessão l(xkjr) inteiramente contida em Mi. Então l(xkjr) é Cauchy em Mi e, como Mi é completo, converge a um ponto xin Misubset M. Pela unicidade de limite num espaço métrico, a sequência original (xk) também converge a x. Concluímos que toda sequência de Cauchy em M converge em M, logo M é completo.

Passo 3

(ii) Seja (xk)subset M uma sequência de Cauchy em M=capalphainLambdaMalpha. Então (xk) é Cauchy em cada Malpha, e como cada Malpha é completo, para cada alpha temos
xk ;xrightarrow[ktoinfty]; xalphain Malpha
Mas em espaço métrico o limite é único, então todos os xalpha coincidem num mesmo x. Logo xincapalphaMalpha=M e (xk)to x em M. Assim M é completo.

Passo 4

(iii) Seja Fsubset N um subespaço completo. Seja (xk)subset F e xkto x em N. Então (xk) é Cauchy em F, converge a um ponto yin F pela completude de F, e pela unicidade de limite em N temos y=x. Logo xin F e F é fechado em N.

Passo 5

(iv) Primeiro mostre que f(N) é completo em P. Seja (yk)subset f(N) uma sequência de Cauchy em P. Para cada k escolha xkin N com yk=f(xk). Da desigualdade
d'(yk,ym)=d'l(f(xk),f(xm)r)>= C,d(xk,xm)
segue que (xk) é Cauchy em N. Como N é completo, xkto xin N. Pela continuidade de f obtemos
yk=f(xk);xrightarrow[ktoinfty];f(x),
logo (yk) converge em f(N). Assim f(N) é completo.

Passo 6

Ainda em (iv), se Fsubset N é fechado e N é completo, então F é completo pelo item (iii). Aplicando o mesmo argumento ao restrito f|Fcolon Fto P, obtemos que f(F) é completo em P e, pelo item (iii) novamente, f(F) é fechado em P.

Resposta

i) M1cupcdotscup Mn é completo.
ii) capalphainLambdaMalpha é completo.
iii) Todo subespaço completo Fsubset N é fechado em N.
iv) Se fcolon Nto P satisfaz d'(f(x),f(y))>= C,d(x,y) com C>0 e N completo, então f(N) é completo; e se além disso Fsubset N é fechado, então f(F) é fechado em P.

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