Seja ( ) um espaço métrico. Dizemos que um subconjunto é um subespaço completo de se o espaço métrico é completo.
i) Sejam subespaços completos de . Mostre que é um subespaço métrico completo de .
ii) Sejam , subespaços completos de . Prove que também é um subespaço completo de .
iii) Seja um subespaço completo de . Prove que é um subconjunto fechado de .
iv) Sejam ( ) um outro espaço métrico e uma função contínua que satisfaz
para todo e para uma constante fixa (que independe de e ). Mostre que se é um espaço métrico completo, então é um subespaço completo de . Conclua, usando o item ), que nestas condições, se é um conjunto fechado de , então é um conjunto fechado de .
Passo 1
O enunciado trabalha com espaços métricos completos e subespaços completos, usando sequências de Cauchy, limites e propriedades de união finita, interseção arbitrária e imagens por funções que expandem distâncias. Precisaremos do fato de que em um espaço métrico a convergência de sequências de Cauchy caracteriza completude, da unicidade de limites e de argumentos de “pomba-gaveta” para uniões finitas.
Passo 2
(i) Seja uma sequência de Cauchy em . Como há apenas conjuntos, pelo princípio da gaveta existe um índice tal que tem uma sub-sucessão inteiramente contida em . Então é Cauchy em e, como é completo, converge a um ponto . Pela unicidade de limite num espaço métrico, a sequência original também converge a . Concluímos que toda sequência de Cauchy em converge em , logo é completo.
Passo 3
(ii) Seja uma sequência de Cauchy em . Então é Cauchy em cada , e como cada é completo, para cada temos
Mas em espaço métrico o limite é único, então todos os xalpha coincidem num mesmo x. Logo xincapalphaMalpha=M e (xk)to x em M. Assim M é completo.
Passo 4
(iii) Seja Fsubset N um subespaço completo. Seja (xk)subset F e xkto x em N. Então (xk) é Cauchy em F, converge a um ponto yin F pela completude de F, e pela unicidade de limite em N temos y=x. Logo xin F e F é fechado em N.
Passo 5
(iv) Primeiro mostre que f(N) é completo em P. Seja (yk)subset f(N) uma sequência de Cauchy em P. Para cada k escolha xkin N com yk=f(xk). Da desigualdade
d'(yk,ym)=d'l(f(xk),f(xm)r)>= C,d(xk,xm)
segue que (xk) é Cauchy em N. Como N é completo, xkto xin N. Pela continuidade de f obtemos
yk=f(xk);xrightarrow[ktoinfty];f(x),
logo (yk) converge em f(N). Assim f(N) é completo.
Passo 6
Ainda em (iv), se Fsubset N é fechado e N é completo, então F é completo pelo item (iii). Aplicando o mesmo argumento ao restrito f|Fcolon Fto P, obtemos que f(F) é completo em P e, pelo item (iii) novamente, f(F) é fechado em P.
Resposta
i) M1cupcdotscup Mn é completo.
ii) capalphainLambdaMalpha é completo.
iii) Todo subespaço completo Fsubset N é fechado em N.
iv) Se fcolon Nto P satisfaz d'(f(x),f(y))>= C,d(x,y) com C>0 e N completo, então f(N) é completo; e se além disso Fsubset N é fechado, então f(F) é fechado em P.