Exercício 3.121

A intensidade na qual a condição na extremidade afeta o desempenho térmico de uma aleta depende da geometria da aleta e de sua condutividade térmica, assim como do coeficiente convectivo. Considere uma aleta retangular de uma liga de alumínio ( k=180 W /(m cdot K) ), com comprimento L=10 mm, espessura t =1 mm e largura w gg t. A temperatura da base da aleta é Tb= 100^circ C e ela está exposta a uma fluido com temperatura Tinfty=25^circ C.
(a) Supondo um coeficiente convectivo uniforme h=100 W / ( m^2 cdot K ) sobre toda a superfície da aleta, determine a taxa de transferência de calor na aleta por unidade de largura qa^prime, a eficiência etaa, a efetividade varepsilona, a resistência térmica por unidade de largura Rt, a^prime e a temperatura da extremidade T(L) para os Casos B e D.

Passo 1

O enunciado trata de uma aleta retangular de alumínio com condutividade térmica k=180 W/(mcdot K), comprimento L=10 mm, espessura t=1 mm e largura muito maior que a espessura (trabalharemos por unidade de largura). A base está a Tb=100^circ!C e o fluido ambiente a Tinfty=25^circ!C, com coeficiente convectivo uniforme h=100 W/(m^2cdot K). Precisamos determinar, para os casos B (ponta adiabática) e D (ponta com convecção), por unidade de largura:
  1. Taxa de calor qa'
  2. Eficiência etaa
  3. Efetividade varepsilona
  4. Resistência térmica Rt,a'
  5. Temperatura da extremidade T(L)

Passo 2

Determinação dos parâmetros geométricos e do parâmetro de decaimento m:
A seção transversal da aleta por unidade de largura é
Ac = tcdot 1 = 1times 10^-3 m^2/m
O perímetro molhado por unidade de largura (duas faces de espessura t) é
P = 2,t = 2times 10^-3 m/m
Define-se
m = raizh,Pk,Ac = raiz100cdot 2times10^-3180cdot 1times10^-3 = raiz200180 = 1,0541 m^-1
Também é útil thetab = Tb-Tinfty = 75 K e k,Ac = 180times10^-3=0,18 W/K per width. Note que
mL = 1,0541cdot 0,01 = 0,01054ll1

Passo 3

Caso B – ponta adiabática.
A solução para taxa de calor por unidade de largura é
q'B = m,kAc,thetab;tanhl(mLr)
Numericamente,
tanh(mL)approx mL = 0,01054, m,kAc,thetab = 1,0541cdot0,18cdot75 = 14,2275 W/m,
q'B = 14,2275cdot0,01054 = 0,150 W/m
A eficiência é definida como
etaB = q'Bh,P,L,thetab = 0,150100cdot(2times10^-3)cdot0,01cdot75 = 1,00
A efetividade (comparando com a convecção na base de área Abase=t) é
varepsilonB = q'Bh,Abase,thetab = 0,150100cdot0,001cdot75 = 0,020
A resistência térmica por unidade de largura é
R't,B = thetabq'B = 750,150 = 500 K/W per width
A temperatura na ponta vem de
theta(L)thetab =cosh[m(L-L)]cosh(mL) =1cosh(0,01054) approx 0,999945,
logo
T(L) = Tinfty + theta(L) = 25 + 75cdot0,999945 = 99,996^circ!C

Passo 4

Caso D – ponta com convecção.
A taxa de calor é dada por
q'D = m,kAc,thetab sinh(mL) + dfrachm,kcosh(mL) cosh(mL) + dfrachm,ksinh(mL)
Calculemos o coeficiente
M = hm,k = 1001,0541cdot180 = 0,527, sinh(mL)=0,01054, cosh(mL)=1,000055
Então
num = 0,01054 + 0,527cdot1,000055 = 0,53757, den = 1,000055 + 0,527cdot0,01054 = 1,00561,
numden = 0,53474, m,kAc,thetab = 14,2275 W/m,
q'D = 14,2275 times 0,53474 = 7,61 W/m
A eficiência agora usa a área total de convecção ( P,L + Arm tip):
etaD = q'Dh,(P,L + t),thetab = 7,61100l(2times10^-3cdot0,01 + 0,001r)cdot75 approx 0,995
A efetividade continua em relação à base:
varepsilonD = 7,61100cdot0,001cdot75 = 1,015
A resistência térmica é
R't,D = 757,61 = 9,85 K/W per width
A temperatura na ponta satisfaz
theta(L)thetab =numden=0,53474, theta(L)=75cdot0,53474=40,11 K,
T(L) = 25 + 40,11 = 65,11^circ!C

Resposta

Caso B (ponta adiabática):
q'B=0,150 W/m, etaB=1,00, varepsilonB=0,020, R't,B=500 K/W, T(L)=99,996^circ!C
Caso D (ponta com convecção):
q'D=7,61 W/m, etaD=0,995, varepsilonD=1,015, R't,D=9,85 K/W, T(L)=65,11^circ!C

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