Exercício 122. Calcule \int_{C} F d r, onde F(x, y)=\left(6 x y, 3 x^{2}+2 y\right) e C é a parábola y=x^{2} de (0,0) a (1,1).

Passo 1

O enunciado pede o cálculo da integral de linha
\int_{C}F\cdot dr
para o campo vetorial
F(x,y) = \bigl(6xy,\;3x^{2}+2y\bigr)
ao longo da curva C definida por y=x^{2} de (0,0) a (1,1).
O conteúdo é integral de linha de um campo vetorial, que vamos resolver por parametrização.

Passo 2

Parametrizamos a curva C por
x(t)=t,\quad y(t)=t^{2},\quad t\in[0,1].
Então
r(t) = \bigl(t,\,t^{2}\bigr),
e
r'(t) = \bigl(1,\,2t\bigr),
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dr = r'(t)\,dt = (1,2t)\,dt.

Passo 3

Substituímos na expressão de F:
F\bigl(r(t)\bigr) = \bigl(6\,x(t)\,y(t),\;3\,x(t)^{2}+2\,y(t)\bigr) = \bigl(6\,t\cdot t^{2},\;3\,t^{2}+2\,t^{2}\bigr) = \bigl(6t^{3},\,5t^{2}\bigr).

Passo 4

O produto escalar F\cdot dr vira
F\bigl(r(t)\bigr)\cdot r'(t) = (6t^{3},\,5t^{2})\cdot(1,\,2t) = 6t^{3}\cdot1 + 5t^{2}\cdot2t = 6t^{3} + 10t^{3} = 16t^{3}.

Passo 5

Integramos de t=0 até t=1:
\int_{C}F\cdot dr = \int_{0}^{1}16t^{3}\,dt = 16\int_{0}^{1}t^{3}\,dt = 16\cdot\frac{t^{4}}{4}\Big|_{0}^{1} = 16\cdot\frac{1}{4} =4.

Resposta

O valor da integral de linha é 4.

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