Exercício 125. Calcule
, onde
e
é o círculo
, no sentido anti-horário.
Passo 1
O enunciado dá a campo vetorial
e a curva
que é o círculo
orientado no sentido anti-horário. A pergunta é calcular a integral de linha fechada
Informações relevantes que temos:
- A curva
é uma curva fechada simples que é a fronteira do disco . - A orientação é anti-horária (ou seja, positiva no sentido usual).
- As componentes do campo são
e .
Passo 2
Qual método escolher? Como
é uma curva fechada que limita uma região simples (o disco) e as componentes
e
são funçõess polinomiais (logo têm derivadas parciais contínuas), o Teorema de Green é a ferramenta natural e mais simples aqui.
O Teorema de Green (forma plana, para uma região com fronteira
orientada positivamente) diz:
O Teorema de Green (forma plana, para uma região
Explicando as letras:
e
são as componentes do campo,
é a derivada parcial de
em relação a
,
é a derivada parcial de
em relação a
, e
é o elemento de área no plano.
Passo 3
Verificação das hipóteses:
e
têm derivadas parciais contínuas em toda
, portanto as hipóteses do Teorema de Green estão satisfeitas para o disco
.
Calculemos as derivadas parciais necessárias:
Passo 4
Aplicando o Teorema de Green:
Passo 5
Agora avaliamos
. Há duas formas simples e intuitivas para ver que esse integral é zero:
- Argumento por simetria: o domínio
(o disco centrado na origem) é simétrico em relação ao eixo . Para cada ponto existe o ponto . A função é ímpar em relação a essa simetria (isto é, em e em se cancelam). Assim a integral de sobre o disco é zero, e portanto
- Cálculo explícito em coordenadas polares (confirmação): usando
e , com e ,
O fator
, logo todo o produto é zero. Portanto a integral vale
.
Ambas as abordagens dão o mesmo resultado: a integral dupla é zero.
Passo 6
Concluímos que a integral de linha ao longo de
é zero.