Exercício 125. Calcule \int_{C} F d r, onde F(x, y)=\left(3 x y, y^{2}\right) e C é o círculo x^{2}+y^{2}=r^{2}, no sentido anti-horário.

Passo 1

O enunciado dá a campo vetorial F(x,y)=\bigl(3xy,\;y^{2}\bigr) e a curva C que é o círculo \,x^{2}+y^{2}=r^{2}\, orientado no sentido anti-horário. A pergunta é calcular a integral de linha fechada
\int_{C} F\cdot dr.
Informações relevantes que temos:
  • A curva C é uma curva fechada simples que é a fronteira do disco D=\{(x,y)\mid x^{2}+y^{2}\le r^{2}\}.
  • A orientação é anti-horária (ou seja, positiva no sentido usual).
  • As componentes do campo são P(x,y)=3xy e Q(x,y)=y^{2}.

Passo 2

Qual método escolher? Como C é uma curva fechada que limita uma região simples (o disco) e as componentes P e Q são funçõess polinomiais (logo têm derivadas parciais contínuas), o Teorema de Green é a ferramenta natural e mais simples aqui.
O Teorema de Green (forma plana, para uma região D com fronteira C orientada positivamente) diz:
\int_{C} P\,dx + Q\,dy = \iint_{D} \left(\frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y}\right)\,dA.
Explicando as letras: P e Q são as componentes do campo, \partial Q/\partial x é a derivada parcial de Q em relação a x, \partial P/\partial y é a derivada parcial de P em relação a y, e dA é o elemento de área no plano.

Passo 3

Verificação das hipóteses: P(x,y)=3xy e Q(x,y)=y^{2} têm derivadas parciais contínuas em toda \mathbb{R}^{2}, portanto as hipóteses do Teorema de Green estão satisfeitas para o disco D.
Calculemos as derivadas parciais necessárias:
\frac{\partial Q}{\partial x}=\frac{\partial}{\partial x}\bigl(y^{2}\bigr)=0, \qquad \frac{\partial P}{\partial y}=\frac{\partial}{\partial y}\bigl(3xy\bigr)=3x.

Passo 4

Aplicando o Teorema de Green:
\int_{C} F\cdot dr=\int_{C} P\,dx+Q\,dy=\iint_{D}\left(\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}\right)\,dA=\iint_{D}\bigl(0-3x\bigr)\,dA=\iint_{D}\bigl(-3x\bigr)\,dA.

Passo 5

Agora avaliamos \iint_{D}(-3x)\,dA. Há duas formas simples e intuitivas para ver que esse integral é zero:
  1. Argumento por simetria: o domínio D (o disco centrado na origem) é simétrico em relação ao eixo y. Para cada ponto (x,y)\in D existe o ponto (-x,y)\in D. A função x é ímpar em relação a essa simetria (isto é, x em (x,y) e -x em (-x,y) se cancelam). Assim a integral de x sobre o disco é zero, e portanto
\iint_{D}(-3x)\,dA = -3\iint_{D} x\,dA = -3\cdot 0 = 0.
  1. Cálculo explícito em coordenadas polares (confirmação): usando x=\rho\cos\theta e dA=\rho\,d\rho\,d\theta, com \rho\in[0,r] e \theta\in[0,2\pi],
\iint_{D}(-3x)\,dA = \int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{r} \bigl(-3\rho\cos\theta\bigr)\rho\,d\rho\,d\theta = -3\int_{0}^{2\pi}\cos\theta\;d\theta \int_{0}^{r}\rho^{2}\,d\rho.
O fator \int_{0}^{2\pi}\cos\theta\,d\theta = 0, logo todo o produto é zero. Portanto a integral vale 0.
Ambas as abordagens dão o mesmo resultado: a integral dupla é zero.

Passo 6

Concluímos que a integral de linha ao longo de C é zero.

Resposta

0

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