Exercício 126. Calcule
, onde
e
é o segmento de reta de
a
.
Passo 1
O enunciado pede calcular a integral de linha
, onde a campo vetorial é
e
é o segmento de reta que vai de
a
.
Informações relevantes fornecidas:
- Ponto inicial do segmento:
. - Ponto final do segmento:
. - A integral a calcular é
.
O que precisamos devolver: o valor numérico de
.
Passo 2
Vamos lembrar a definição prática que vamos usar: se uma curva
é parametrizada por
para
em
, então a integral de linha do campo
ao longo de
é
Aqui:
-
é o campo avaliado ao longo da curva; -
é a derivada da parametrização (o vetor tangent); - o ponto “
” é o produto escalar usual entre vetores em .
Passo 3
Parametrizamos o segmento de reta de
a
. A parametrização mais simples é
Isto porque ao variar
de
a
obtemos exatamente todos os pontos do segmento. A derivada é
Passo 4
Agora avaliamos o campo
ao longo da curva, isto é, substituímos
,
,
em cada componente de
:
Primeira componente:
Primeira componente:
Segunda componente:
Terceira componente:
Portanto
Passo 5
Calculamos o produto escalar
. Como
, o produto escalar é a soma das componentes:
Agrupando termos semelhantes:
Passo 6
Agora montamos a integral de
a
:
Integramos termo a termo usando as fórmulas básicas
:
Somando os resultados:
Resposta
2