Exercício 126. Calcule \int_{C} F d r, onde F(x, y)=\left(2 x y^{3}+y z, 3 x^{2} y^{2}+x z, x y\right) e C é o segmento de reta de (0,0,0) a (1,1,1).

Passo 1

O enunciado pede calcular a integral de linha \displaystyle\int_{C} F\cdot d r, onde a campo vetorial é
F(x,y,z)=\bigl(2xy^{3}+yz,\;3x^{2}y^{2}+xz,\;xy\bigr)
e C é o segmento de reta que vai de (0,0,0) a (1,1,1).
Informações relevantes fornecidas:
  • Ponto inicial do segmento: (0,0,0).
  • Ponto final do segmento: (1,1,1).
  • A integral a calcular é \displaystyle\int_{C} F\cdot d r.
O que precisamos devolver: o valor numérico de \displaystyle\int_{C} F\cdot d r.

Passo 2

Vamos lembrar a definição prática que vamos usar: se uma curva C é parametrizada por \mathbf{r}(t)=(x(t),y(t),z(t)) para t em [a,b], então a integral de linha do campo F ao longo de C é
\int_{C} F\cdot d r = \int_{a}^{b} F\bigl(x(t),y(t),z(t)\bigr)\cdot \mathbf{r}'(t)\,dt.
Aqui:
  • F\bigl(x(t),y(t),z(t)\bigr) é o campo avaliado ao longo da curva;
  • \mathbf{r}'(t)=(x'(t),y'(t),z'(t)) é a derivada da parametrização (o vetor tangent);
  • o ponto “ \cdot” é o produto escalar usual entre vetores em \mathbb{R}^3.

Passo 3

Parametrizamos o segmento de reta de (0,0,0) a (1,1,1). A parametrização mais simples é
\mathbf{r}(t)=(t,t,t),\qquad t\in[0,1].
Isto porque ao variar t de 0 a 1 obtemos exatamente todos os pontos do segmento. A derivada é
\mathbf{r}'(t)=(1,1,1).

Passo 4

Agora avaliamos o campo F ao longo da curva, isto é, substituímos x=t, y=t, z=t em cada componente de F:
Primeira componente:
2xy^{3}+yz = 2\cdot t\cdot t^{3} + t\cdot t = 2t^{4} + t^{2}.
Segunda componente:
3x^{2}y^{2}+xz = 3\cdot t^{2}\cdot t^{2} + t\cdot t = 3t^{4} + t^{2}.
Terceira componente:
xy = t\cdot t = t^{2}.
Portanto
F\bigl(\mathbf{r}(t)\bigr)=\bigl(2t^{4}+t^{2},\;3t^{4}+t^{2},\;t^{2}\bigr).

Passo 5

Calculamos o produto escalar F\bigl(\mathbf{r}(t)\bigr)\cdot \mathbf{r}'(t). Como \mathbf{r}'(t)=(1,1,1), o produto escalar é a soma das componentes:
F\bigl(\mathbf{r}(t)\bigr)\cdot \mathbf{r}'(t)=(2t^{4}+t^{2})+(3t^{4}+t^{2})+t^{2}.
Agrupando termos semelhantes:
(2t^{4}+3t^{4}) + (t^{2}+t^{2}+t^{2}) = 5t^{4} + 3t^{2}.

Passo 6

Agora montamos a integral de t=0 a t=1:
\int_{C} F\cdot d r = \int_{0}^{1} \bigl(5t^{4}+3t^{2}\bigr)\,dt.
Integramos termo a termo usando as fórmulas básicas \displaystyle\int t^{n}\,dt=\frac{t^{n+1}}{n+1}:
\int_{0}^{1}5t^{4}\,dt = 5\cdot\frac{t^{5}}{5}\Big|_{0}^{1}=1,
\int_{0}^{1}3t^{2}\,dt = 3\cdot\frac{t^{3}}{3}\Big|_{0}^{1}=1.
Somando os resultados:
\int_{0}^{1}\bigl(5t^{4}+3t^{2}\bigr)\,dt = 1+1=2.

Resposta

2

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