Exercício 127. Calcule
, onde
e
é parametrizada por
.
Passo 1
O enunciado nos dá as seguintes informações e pede uma coisa clara.
- Campo vetorial:
- Curva parametrizada:
- Intervalo do parâmetro:
.
O que se pede: calcular o integral de linha
onde
é a imagem de
(orientada no sentido de aumento de
).
Passo 2
Método e fórmula que vamos usar (explicação didática).
Para integrar um campo vetorial ao longo de uma curva parametrizada usa-se a fórmula
Aqui:
-
é a derivada vetorial da parametrização, isto é, a velocidade da curva. - O produto escalar
é a soma componente a componente: se e então
Essa fórmula vem da substituição
e do cálculo diferencial:
.
Passo 3
Calcular a derivada da parametrização
.
Expliquei: cada componente é derivada em relação a
:
,
,
.
Passo 4
Avaliar o campo
ao longo da curva: substituir
nas componentes de
.
Primeira componente:
Segunda componente:
Terceira componente:
Passo 5
Calcular o integrando
fazendo o produto escalar componente a componente.
Substituindo as expressões obtidas:
Passo 6
Integrar no intervalo
:
Calcular antiderivadas:
Portanto