Exercício 127. Calcule \int_{C} F d r, onde F(x, y, z)=\left(2 x y^{3}+y z, 3 x^{2} y^{2}+x z, x y\right) e C é parametrizada por \alpha:[0,1] \rightarrow \mathbb{R}^{3}, \alpha(t)=\left(t, t^{2}, t^{3}\right).

Passo 1

O enunciado nos dá as seguintes informações e pede uma coisa clara.
  • Campo vetorial:
F(x,y,z)=\bigl(2xy^{3}+yz,\;3x^{2}y^{2}+xz,\;xy\bigr).
  • Curva parametrizada:
\alpha:[0,1]\to\mathbb{R}^{3},\qquad \alpha(t)=\bigl(t,\;t^{2},\;t^{3}\bigr).
  • Intervalo do parâmetro: t\in[0,1].
O que se pede: calcular o integral de linha
\int_{C}F\,d r,
onde C é a imagem de \alpha (orientada no sentido de aumento de t).

Passo 2

Método e fórmula que vamos usar (explicação didática).
Para integrar um campo vetorial ao longo de uma curva parametrizada usa-se a fórmula
\int_{C}F\,d r=\int_{a}^{b}F\bigl(\alpha(t)\bigr)\cdot\alpha'(t)\,dt.
Aqui:
  • \alpha'(t) é a derivada vetorial da parametrização, isto é, a velocidade da curva.
  • O produto escalar F(\alpha(t))\cdot\alpha'(t) é a soma componente a componente: se F=(F_1,F_2,F_3) e \alpha'=(x',y',z') então
F(\alpha(t))\cdot\alpha'(t)=F_1(\alpha(t))x'(t)+F_2(\alpha(t))y'(t)+F_3(\alpha(t))z'(t).
Essa fórmula vem da substituição \mathbf r=\alpha(t) e do cálculo diferencial: d\mathbf r=\alpha'(t)\,dt.

Passo 3

Calcular a derivada da parametrização \alpha(t).
\alpha(t)=\bigl(t,\;t^{2},\;t^{3}\bigr)\quad\Rightarrow\quad \alpha'(t)=\bigl(1,\;2t,\;3t^{2}\bigr).
Expliquei: cada componente é derivada em relação a t: \dfrac{d}{dt}t=1, \dfrac{d}{dt}t^{2}=2t, \dfrac{d}{dt}t^{3}=3t^{2}.

Passo 4

Avaliar o campo F ao longo da curva: substituir x=t,\;y=t^{2},\;z=t^{3} nas componentes de F.
Primeira componente:
F_1\bigl(\alpha(t)\bigr)=2x y^{3}+y z =2\cdot t\cdot\bigl(t^{2}\bigr)^{3}+t^{2}\cdot t^{3} =2t\cdot t^{6}+t^{5} =2t^{7}+t^{5}.
Segunda componente:
F_2\bigl(\alpha(t)\bigr)=3x^{2}y^{2}+x z =3\cdot t^{2}\cdot\bigl(t^{2}\bigr)^{2}+t\cdot t^{3} =3t^{2}\cdot t^{4}+t^{4} =3t^{6}+t^{4}.
Terceira componente:
F_3\bigl(\alpha(t)\bigr)=x y =t\cdot t^{2}=t^{3}.

Passo 5

Calcular o integrando F(\alpha(t))\cdot\alpha'(t) fazendo o produto escalar componente a componente.
F(\alpha(t))\cdot\alpha'(t) =F_1(\alpha(t))\cdot 1 + F_2(\alpha(t))\cdot (2t) + F_3(\alpha(t))\cdot (3t^{2}).
Substituindo as expressões obtidas:
\begin{aligned} F(\alpha(t))\cdot\alpha'(t) &=(2t^{7}+t^{5}) + 2t\,(3t^{6}+t^{4}) + 3t^{2}\,(t^{3})\\[4pt] &=2t^{7}+t^{5} + 6t^{7}+2t^{5} + 3t^{5}\\[4pt] &=(2t^{7}+6t^{7}) + (t^{5}+2t^{5}+3t^{5})\\[4pt] &=8t^{7}+6t^{5}. \end{aligned}]

Passo 6

Integrar no intervalo t\in[0,1]:
\int_{C}F\,dr=\int_{0}^{1}\bigl(8t^{7}+6t^{5}\bigr)\,dt.
Calcular antiderivadas:
\int 8t^{7}\,dt=8\cdot\frac{t^{8}}{8}=t^{8},\qquad \int 6t^{5}\,dt=6\cdot\frac{t^{6}}{6}=t^{6}.
Portanto
\int_{0}^{1}\bigl(8t^{7}+6t^{5}\bigr)\,dt=\bigl[t^{8}+t^{6}\bigr]_{0}^{1} =(1^{8}+1^{6})-(0+0)=1+1=2.

Resposta

2

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