Exercício 13 Calcule \lim _{x \rightarrow 0} \frac{\int_{0}^{x} e^{\cos ^{2}(t)} d t}{\sin (x)}
Exercício 14 Calcule o polinômio de Taylor em 0 , de ordem 3, das funções
f(x)=\int_{0}^{x} e^{t^{2}} d t \quad g(x)=\int_{x^{2}}^{\pi} \sin (t) d t

Passo 1

O enunciado pede duas coisas:
  1. Calcular
\lim_{x\to0}\frac{\displaystyle\int_{0}^{x}e^{\cos^{2}(t)}\,dt}{\sin(x)}.
  1. Obter o polinômio de Taylor em 0, de ordem 3, para
f(x)=\int_{0}^{x}e^{t^{2}}\,dt \quad\text{e}\quad g(x)=\int_{x^{2}}^{\pi}\sin(t)\,dt.
Para 1) podemos usar a regra de l’Hôpital (derivadas de integral pelo Teorema Fundamental do Cálculo).
Para 2) vamos desenvolver séries de Taylor do integrando e da derivada de g e depois integrar ou usar a regra de Leibniz.

Passo 2

Aplicando l’Hôpital ao limite
L=\lim_{x\to0}\frac{\displaystyle\int_{0}^{x}e^{\cos^{2}(t)}\,dt}{\sin(x)},
derivamos numerador e denominador em x:
\frac{d}{dx}\Bigl(\!\int_{0}^{x}e^{\cos^{2}(t)}dt\Bigr) =e^{\cos^{2}(x)}, \qquad \frac{d}{dx}\bigl(\sin x\bigr)=\cos x.
Logo
L=\lim_{x\to0}\frac{e^{\cos^{2}(x)}}{\cos x} =\frac{e^{\cos^{2}(0)}}{\cos(0)} =\frac{e^{1}}{1} =e.

Passo 3

Para
f(x)=\int_{0}^{x}e^{t^{2}}\,dt
usamos a expansão
e^{t^{2}}=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{t^{2n}}{n!}
e integramos termo a termo até grau 3 em x:
f(x) =\sum_{n=0}^{\infty}\frac{1}{n!}\int_{0}^{x}t^{2n}\,dt =\sum_{n=0}^{\infty}\frac{x^{2n+1}}{(2n+1)\,n!}.
Os dois primeiros termos são, para n=0 e n=1:
n=0:\;\frac{x^{1}}{1\cdot1!}=x, \qquad n=1:\;\frac{x^{3}}{3\cdot1!}=\frac{x^{3}}{3}.
O próximo é de ordem x^{5}, que ignoramos. Assim
P_{3}[f](x)=x+\frac{x^{3}}{3}.

Passo 4

Para
g(x)=\int_{x^{2}}^{\pi}\sin(t)\,dt
usamos a regra de diferenciação sob o sinal de integral:
g'(x) =-\sin\bigl(x^{2}\bigr)\cdot\frac{d}{dx}(x^{2}) =-2x\,\sin\bigl(x^{2}\bigr).
Expandindo \sin(x^{2}) em série até ordem x^{2}:
\sin(x^{2})=x^{2}-\frac{(x^{2})^{3}}{6}+\cdots =x^{2}+O(x^{6}),
logo
g'(x)=-2x\bigl(x^{2}+O(x^{6})\bigr)=-2x^{3}+O(x^{7}).
Integrando em torno de 0,
g(0)=\int_{0}^{\pi}\sin(t)\,dt=2,
e como g'(0)=g''(0)=g'''(0)=0, o polinômio de ordem 3 é constante:
P_{3}[g](x)=2.

Resposta

Exercício 13:
\lim_{x\to0}\frac{\int_{0}^{x}e^{\cos^{2}(t)}\,dt}{\sin(x)}=e.
Exercício 14:
P_{3}[f](x)=x+\frac{x^{3}}{3}, \qquad P_{3}[g](x)=2.

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