Exercício 13 Calcule
Exercício 14 Calcule o polinômio de Taylor em 0 , de ordem 3, das funções
Exercício 14 Calcule o polinômio de Taylor em 0 , de ordem 3, das funções
Passo 1
O enunciado pede duas coisas:
- Calcular
- Obter o polinômio de Taylor em 0, de ordem 3, para
Para 1) podemos usar a regra de l’Hôpital (derivadas de integral pelo Teorema Fundamental do Cálculo).
Para 2) vamos desenvolver séries de Taylor do integrando e da derivada de e depois integrar ou usar a regra de Leibniz.
Para 2) vamos desenvolver séries de Taylor do integrando e da derivada de
Passo 2
Aplicando l’Hôpital ao limite
derivamos numerador e denominador em
:
Logo
Passo 3
Para
usamos a expansão
e integramos termo a termo até grau 3 em
:
Os dois primeiros termos são, para
e
:
O próximo é de ordem
, que ignoramos. Assim
Passo 4
Para
usamos a regra de diferenciação sob o sinal de integral:
Expandindo
em série até ordem
:
logo
Integrando em torno de
,
e como
, o polinômio de ordem 3 é constante:
Resposta
Exercício 13:
Exercício 14: