Exercício 6 Sabe dizer, sem fazer contas, quanto vale a integral a seguir?
\int_{-4}^{3} \sin (x) e^{-x^{2}} d x-\int_{-4}^{-3} \sin (x) e^{-x^{2}} d x

Passo 1

O enunciado quer que a gente descubra, sem fazer contas, o valor de
\int_{-4}^{3} \sin(x)\,e^{-x^{2}}\;dx \;-\;\int_{-4}^{-3} \sin(x)\,e^{-x^{2}}\;dx.
O ponto principal é usar a propriedade de simetria de funções pares e ímpares.

Passo 2

Repare que as integrais têm um trecho comum de -4 a -3. Pela linearidade da integral, esse pedaço se “cancela” na subtração, sobrando
\int_{-3}^{3} \sin(x)\,e^{-x^{2}}\;dx.

Passo 3

Note que \sin(x) é função ímpar e e^{-x^{2}} é função par. O produto de uma função ímpar por uma par é ímpar, e a integral de uma função ímpar em intervalo simétrico [-3,3] vale zero.

Resposta

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