Esboce o gráfico da função F(x)=\int_{2}^{x} f(t) d t\) quando \(f\) é uma das funções a seguir ( \([[x]]\) é parte inteira de \(x\) ) \(f(x)= \begin{cases}x & x \leq 5, \\\\ 0 & x \in(5,6], \\\\ -3 & x>6\end{cases}

Passo 1

O enunciado pede o esboço do gráfico de
F(x)=\int_{2}^{x}f(t)\,dt
sendo
f(t)= \begin{cases} t, & t\le5,\\\\ 0, & 5<t\le6,\\\\ -3, & t>6. \end{cases}
Vamos usar o Teorema Fundamental do Cálculo para obter F(x) em cada região de x.

Passo 2

Para x\le5, em todo o intervalo de integração t\le5, vale f(t)=t. Logo
F(x)=\int_{2}^{x}t\,dt =\biggl[\tfrac{t^2}{2}\biggr]_{2}^{x} =\frac{x^2}{2}-\frac{2^2}{2} =\frac{x^2-4}{2}.

Passo 3

Para 5<x\le6, no trecho de 5 até x temos f(t)=0. Assim
F(x)=F(5)+\int_{5}^{x}0\,dt =F(5).
E como F(5)=\tfrac{5^2-4}{2}=\tfrac{21}{2}, segue que
F(x)=\frac{21}{2}\quad\text{para }5<x\le6.

Passo 4

Para x>6, primeiro note que F(6)=\tfrac{21}{2}. Em seguida, como f(t)=-3 em (6,x],
F(x)=F(6)+\int_{6}^{x}(-3)\,dt =\frac{21}{2}-3(x-6) =\frac{21}{2}-3x+18 = \frac{21}{2}-3(x-6).

Resposta

F(x)= \begin{cases} \dfrac{x^2-4}{2}, & x\le5,\\[6pt] \dfrac{21}{2}, & 5<x\le6,\\[6pt] \dfrac{21}{2}-3(x-6), & x>6. \end{cases}
O gráfico é uma parábola crescente para x\le5, segue-se um segmento horizontal de altura \tfrac{21}{2} entre x=5 e x=6 e, para x>6, uma reta decrescente de coeficiente angular -3.]

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