Exercício 13. Calcule \operatorname{proj}_{\vec{u}} \vec{v} nos seguintes casos:
\vec{v}=(1,1,1) e \vec{u}=(2,3,3);

Passo 1

O enunciado pede para calcular a projeção de \vec{v} sobre \vec{u}, isto é
\operatorname{proj}_{\vec{u}}\vec{v} = \frac{\vec{v}\cdot\vec{u}}{\vec{u}\cdot\vec{u}}\;\vec{u}.
Aqui vamos usar produto escalar e norma ao quadrado de \vec{u}.

Passo 2

Calcular o produto escalar \vec{v}\cdot\vec{u}. Temos
\vec{v}\cdot\vec{u} = (1,1,1)\cdot(2,3,3) = 1\cdot2 + 1\cdot3 + 1\cdot3 = 2 + 3 + 3 = 8.

Passo 3

Calcular \vec{u}\cdot\vec{u}, que é a soma dos quadrados dos componentes de \vec{u}:
\vec{u}\cdot\vec{u} = 2^2 + 3^2 + 3^2 = 4 + 9 + 9 = 22.

Passo 4

Determinar o coeficiente escalar
\lambda = \frac{\vec{v}\cdot\vec{u}}{\vec{u}\cdot\vec{u}} = \frac{8}{22} = \frac{4}{11}.

Passo 5

Multiplicar \lambda pelo vetor \vec{u}:
\operatorname{proj}_{\vec{u}}\vec{v} = \lambda\,\vec{u} = \frac{4}{11}\,(2,3,3) = \Bigl(\tfrac{8}{11},\;\tfrac{12}{11},\;\tfrac{12}{11}\Bigr).

Resposta

\operatorname{proj}_{\vec{u}}\vec{v} = \Bigl(\tfrac{8}{11},\,\tfrac{12}{11},\,\tfrac{12}{11}\Bigr).

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