Exercício 13. Calcule \operatorname{proj}_{\vec{u}} \vec{v} nos seguintes casos:
\vec{v}=(\sqrt{2}, \pi, e) e \vec{u}=(10 \sqrt{2}, 10 \pi, 10 e);

Passo 1

O enunciado pede a projeção de \vec v em direção a \vec u. O conteúdo aqui é o cálculo de projeção de um vetor sobre outro, usando a fórmula
\operatorname{proj}_{\vec u}\vec v = \frac{\vec v\cdot\vec u}{\vec u\cdot\vec u}\,\vec u.

Passo 2

Calculemos o produto interno \vec v\cdot\vec u. Como \vec v=(\sqrt{2},\pi,e) e \vec u=(10\sqrt{2},10\pi,10e), temos
\vec v\cdot\vec u = (\sqrt{2})(10\sqrt{2}) + (\pi)(10\pi) + (e)(10e) = 10\bigl(2 + \pi^2 + e^2\bigr).

Passo 3

Agora o produto interno \vec u\cdot\vec u:
\vec u\cdot\vec u = (10\sqrt{2})^2 + (10\pi)^2 + (10e)^2 = 100\bigl(2 + \pi^2 + e^2\bigr).

Passo 4

O escalar que multiplica \vec u na projeção é
\frac{\vec v\cdot\vec u}{\vec u\cdot\vec u} = \frac{10\bigl(2 + \pi^2 + e^2\bigr)}{100\bigl(2 + \pi^2 + e^2\bigr)} = \frac{1}{10}.

Passo 5

Finalmente,
\operatorname{proj}_{\vec u}\vec v = \frac{1}{10}\,\vec u = \frac{1}{10}\,(10\sqrt{2},\,10\pi,\,10e) = (\sqrt{2},\,\pi,\,e),
ou seja, a projeção de \vec v sobre \vec u coincide com \vec v porque \vec u é simplesmente 10\vec v.

Resposta

\operatorname{proj}_{\vec u}\vec v = (\sqrt{2},\,\pi,\,e).

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