Exercício 13. Calcule \operatorname{proj}_{\vec{u}} \vec{v} nos seguintes casos:
\vec{v}=(1,0,0) e \vec{u}=(0,0,1);

Passo 1

O enunciado dá dois vetores em \mathbb{R}^3, \vec{v}=(1,0,0) e \vec{u}=(0,0,1), e pede a projeção ortogonal de \vec{v} sobre \vec{u}. O conteúdo que vamos usar é a fórmula da projeção de um vetor sobre outro, que envolve produto escalar e norma ao quadrado.

Passo 2

A definição da projeção de \vec{v} sobre \vec{u} é
\mathrm{proj}_{\vec{u}}\vec{v} =\frac{\vec{v}\cdot\vec{u}}{\vec{u}\cdot\vec{u}}\;\vec{u}.

Passo 3

Calculamos o produto escalar no numerador:
\vec{v}\cdot\vec{u} =1\cdot0+0\cdot0+0\cdot1 =0.

Passo 4

Calculamos o produto escalar no denominador (norma ao quadrado de \vec{u}):
\vec{u}\cdot\vec{u} =0^2+0^2+1^2 =1.

Passo 5

Substituindo na fórmula:
\mathrm{proj}_{\vec{u}}\vec{v} =\frac{0}{1}\,\vec{u} =0\cdot(0,0,1) =(0,0,0).

Resposta

(0,0,0)

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