Exercício 5.13 Calcule utilizando a técnica de integração por partes, sendo os integrandos com seus domínios maximais.
\int \ln ^{2}(x) \mathrm{d} x

Passo 1

O enunciado pede para calcular
\int \ln^{2}(x)\,dx
usando a técnica de integração por partes. A função \ln^{2}(x) só está definida para x>0, logo o domínio maximal é (0,\infty).

Passo 2

Aplicamos integração por partes escolhendo
u = \ln^{2}(x), \quad dv = dx.
Então
du = 2\,\ln(x)\,\frac{1}{x}\,dx = \frac{2\ln(x)}{x}\,dx, \quad v = \int dv = x.
Logo
\int \ln^{2}(x)\,dx = u\,v - \int v\,du = x\,\ln^{2}(x) - 2 \int \ln(x)\,dx.

Passo 3

Agora calculamos
\int \ln(x)\,dx
novamente por partes, com
u = \ln(x), \quad dv = dx,
de modo que
du = \frac{1}{x}\,dx, \quad v = x.
Portanto
\int \ln(x)\,dx = x\,\ln(x) - \int x\cdot\frac{1}{x}\,dx = x\,\ln(x) - \int 1\,dx = x\,\ln(x) - x.

Passo 4

Substituindo esse resultado na fórmula do Passo 2, temos
\int \ln^{2}(x)\,dx = x\,\ln^{2}(x) - 2\bigl(x\,\ln(x) - x\bigr) + C = x\,\ln^{2}(x) - 2x\,\ln(x) + 2x + C.
Podemos fatorar x se desejarmos:
\int \ln^{2}(x)\,dx = x\bigl(\ln^{2}(x) - 2\ln(x) + 2\bigr) + C.

Resposta

\boxed{\int \ln^{2}(x)\,dx = x\,\ln^{2}(x) - 2x\,\ln(x) + 2x + C,\quad x>0.}

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