Exercício 5.13 Calcule utilizando a técnica de integração por partes, sendo os integrandos com seus domínios maximais.
\int x \operatorname{sec} ^{2}(x) d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular
\int x \operatorname{sec}^{2}(x)\,dx
usando integração por partes. O integrando é x\operatorname{sec}^{2}(x), cuja função \operatorname{sec}^{2}(x) está definida sempre que \cos(x)\neq 0. Portanto, o domínio maximal de integração é cada intervalo aberto entre dois zeros consecutivos de \cos(x), ou seja
I_{k} = \bigl(\tfrac{(2k-1)\pi}{2},\,\tfrac{(2k+1)\pi}{2}\bigr),
com k\in\mathbb{Z}. Em cada I_k a função é contínua e podemos aplicar partes.

Passo 2

Escolhemos as funções para partes:
u = x, \quad dv = \operatorname{sec}^{2}(x)\,dx.
Então
du = dx, \quad v = \int \operatorname{sec}^{2}(x)\,dx = \tan(x).

Passo 3

Aplicando a fórmula de integração por partes
\int u\,dv = u\,v - \int v\,du
ficamos com
\int x\operatorname{sec}^{2}(x)\,dx = x\tan(x) - \int \tan(x)\,dx.
Para \int \tan(x)\,dx sabemos que
\int \tan(x)\,dx = -\ln\bigl|\cos(x)\bigr|.

Passo 4

Substituindo o resultado de \int \tan(x)\,dx na expressão, obtemos
\int x\operatorname{sec}^{2}(x)\,dx = x\tan(x) - \bigl(-\ln\lvert\cos(x)\rvert\bigr) = x\tan(x) + \ln\lvert\cos(x)\rvert + C.
Aqui C é a constante de integração, que pode variar de um intervalo I_k para outro.

Resposta

Em cada intervalo
I_{k} = \bigl(\tfrac{(2k-1)\pi}{2},\,\tfrac{(2k+1)\pi}{2}\bigr),
temos
\int x\operatorname{sec}^{2}(x)\,dx = x\tan(x) + \ln\bigl|\cos(x)\bigr| + C_{k}.

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