Exercício 5.13 Calcule utilizando a técnica de integração por partes, sendo os integrandos com seus domínios maximais.
\int x \ln ^{2}(x) d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular
\int x \ln^{2}(x)\,dx
usando integração por partes. Como \ln(x) só está definido para x>0, trabalharemos no domínio (0,\infty). A técnica de integração por partes usa a fórmula
\int u\,dv = u\,v - \int v\,du.

Passo 2

Escolhemos
u = \ln^{2}(x), \quad dv = x\,dx.
Então derivamos u e integramos dv:
du = 2\ln(x)\,\frac{1}{x}\,dx = 2\,\frac{\ln(x)}{x}\,dx, \quad v = \int x\,dx = \frac{x^{2}}{2}.

Passo 3

Aplicando a fórmula de partes,
\int x\ln^{2}(x)\,dx = u\,v - \int v\,du = \frac{x^{2}}{2}\ln^{2}(x) - \int \frac{x^{2}}{2}\cdot 2\,\frac{\ln(x)}{x}\,dx.
Simplificando o integrando, fica
\int x\ln^{2}(x)\,dx = \frac{x^{2}}{2}\ln^{2}(x) - \int x\ln(x)\,dx.

Passo 4

Agora calculamos \displaystyle \int x\ln(x)\,dx por partes novamente, escolhendo
\tilde u = \ln(x), \quad d\tilde v = x\,dx.
Temos
d\tilde u = \frac{1}{x}\,dx, \quad \tilde v = \frac{x^{2}}{2}.
Logo
\int x\ln(x)\,dx = \tilde u\,\tilde v - \int \tilde v\,d\tilde u = \frac{x^{2}}{2}\ln(x) - \int \frac{x^{2}}{2}\cdot\frac{1}{x}\,dx = \frac{x^{2}}{2}\ln(x) - \int \frac{x}{2}\,dx = \frac{x^{2}}{2}\ln(x) - \frac{x^{2}}{4}.

Passo 5

Substituindo esse resultado em \displaystyle \int x\ln^{2}(x)\,dx, obtemos
\int x\ln^{2}(x)\,dx = \frac{x^{2}}{2}\ln^{2}(x) - \Bigl(\frac{x^{2}}{2}\ln(x) - \frac{x^{2}}{4}\Bigr) + C = \frac{x^{2}}{2}\ln^{2}(x) - \frac{x^{2}}{2}\ln(x) + \frac{x^{2}}{4} + C.

Resposta

\int x\ln^{2}(x)\,dx = \frac{x^{2}}{2}\ln^{2}(x) - \frac{x^{2}}{2}\ln(x) + \frac{x^{2}}{4} + C, \quad x>0.

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