Exercício 5.13 Calcule utilizando a técnica de integração por partes, sendo os integrandos com seus domínios maximais.
\int e^{-2 x} \operatorname{sen}(x) d x

Passo 1

O enunciado pede calcular
\int e^{-2x}\sin(x)\,dx
que é o produto de uma exponencial por uma função trigonométrica. Nesse caso vamos usar integração por partes duas vezes e depois resolver uma equação para a própria integral.

Passo 2

Defina
I = \int e^{-2x}\sin(x)\,dx.
Escolha em partes u=\sin(x), dv=e^{-2x}dx. Então
du=\cos(x)\,dx, \qquad v=\int e^{-2x}dx=-\tfrac12e^{-2x}.
Pela fórmula de partes,
I = u\,v - \int v\,du = -\tfrac12e^{-2x}\sin(x) + \tfrac12\int e^{-2x}\cos(x)\,dx.
Denote
J = \int e^{-2x}\cos(x)\,dx,
ficando
I = -\tfrac12e^{-2x}\sin(x) + \tfrac12\,J.

Passo 3

Calcule J por partes: tome u=\cos(x), dv=e^{-2x}dx. Então
du=-\sin(x)\,dx, \qquad v=-\tfrac12e^{-2x}.
Logo
J = u\,v - \int v\,du = -\tfrac12e^{-2x}\cos(x) - \int\bigl(-\tfrac12e^{-2x}\bigr)(-\sin(x))\,dx = -\tfrac12e^{-2x}\cos(x) - \tfrac12\,I.

Passo 4

Substituindo J em I:
I = -\tfrac12e^{-2x}\sin(x) + \tfrac12\Bigl(-\tfrac12e^{-2x}\cos(x) - \tfrac12I\Bigr) = -\tfrac12e^{-2x}\sin(x) - \tfrac14e^{-2x}\cos(x) - \tfrac14I.
Some \tfrac14I em ambos os lados:
I + \tfrac14I = -\tfrac12e^{-2x}\sin(x) - \tfrac14e^{-2x}\cos(x) \quad\Longrightarrow\quad \tfrac54I = -e^{-2x}\Bigl(\tfrac12\sin(x)+\tfrac14\cos(x)\Bigr).
Dividindo por \tfrac54:
I = -\tfrac{4}{5}\,e^{-2x}\Bigl(\tfrac12\sin(x)+\tfrac14\cos(x)\Bigr) = -\tfrac{e^{-2x}}{5}\bigl(2\sin(x)+\cos(x)\bigr) + C.

Resposta

-\frac{e^{-2x}}{5}\bigl(2\sin(x)+\cos(x)\bigr)+C.

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