Exercício 14: Se X \sim \operatorname{Binomial}(n, p), qual é o modelo de Y=n-X ? Interprete.

Passo 1

Enunciado e dados fornecidos: temos X com distribuição binomial de parâmetros n e p, isto é:
X \sim \operatorname{Binomial}(n,p).
Foi definido Y = n - X. O que o exercício pede:
  1. Determinar qual é o modelo/probabilidade de Y (isto é, sua distribuição).
  2. Interpretar esse resultado.
Informações relevantes dadas pelo enunciado:
\text{A função massa de probabilidade de }X\text{ é }çãé
P(X=k)=\binom{n}{k} p^{k} (1-p)^{\,n-k},\qquad k=0,1,\dots,n.

Passo 2

Identificar o suporte (valores possíveis) de Y.
Como X toma valores em \{0,1,\dots,n\}, então
Y=n-X
toma valores em \{n-0,n-1,\dots,n-n\}=\{0,1,\dots,n\}. \] Portanto o suporte de \(Y também é \{0,1,\dots,n\}.)

Passo 3

Calcular a função massa de probabilidade de Y para um valor genérico k\in\{0,1,\dots,n\}.
Começamos pela definição:
P(Y=k)=P(n-X=k)=P(X=n-k).
Usando a PMF de X para X=n-k,
P(X=n-k)=\binom{n}{\,n-k\,} p^{\,n-k} (1-p)^{\,k}.

Passo 4

Simplificar a expressão usando a identidade combinatória \binom{n}{n-k}=\binom{n}{k}.
Portanto
P(Y=k)=\binom{n}{k} p^{\,n-k} (1-p)^{\,k}.
Reescrevendo os fatores para destacar o parâmetro da nova binomial, observamos que isso é equivalente a
P(Y=k)=\binom{n}{k} (1-p)^{\,k} \bigl(p\bigr)^{\,n-k}.

Passo 5

Reconhecer a forma da distribuição obtida.
A forma
P(Y=k)=\binom{n}{k} (1-p)^{\,k} \bigl(p\bigr)^{\,n-k},\qquad k=0,\dots,n,
é exatamente a função massa de probabilidade de uma variável binomial com n tentativas e probabilidade de “sucesso” igual a 1-p. Logo
Y\sim \operatorname{Binomial}\bigl(n,\,1-p\bigr).

Passo 6

Interpretação intuitiva e combinatória (passo-a-passo, para lembrar na prova).
  • A distribuição binomial \operatorname{Binomial}(n,p) conta o número de sucessos em n ensaios independentes de Bernoulli, sendo p a probabilidade de sucesso em cada ensaio.
  • Se X conta sucessos, então Y=n-X conta quantas vezes o evento “não sucesso” (ou seja, falha) ocorreu nas mesmas n tentativas.
  • A probabilidade de falha em cada tentativa é 1-p. Portanto o número de falhas em n tentativas é binomial com parâmetro 1-p.
  • Combinatoriamente, o coeficiente \binom{n}{k} aparece porque, para obter k falhas, escolhemos quais k das n tentativas falharam; os fatores de probabilidade vêm de multiplicar k vezes a probabilidade de falha (1-p) e n-k vezes a probabilidade de sucesso p.

Passo 7

Propriedades úteis (que ajudam a checar resposta na prova):
  • Esperança:
E[X]=np \quad\Rightarrow\quad E[Y]=E[n-X]=n-E[X]=n(1-p).
  • Variância:
\operatorname{Var}(X)=np(1-p)\quad\Rightarrow\quad \operatorname{Var}(Y)=\operatorname{Var}(n-X)=\operatorname{Var}(X)=np(1-p).
Isto confirma que a forma binomial com parâmetro 1-p tem esperança n(1-p) e variância np(1-p), consistentes com Y.

Passo 8

Exemplo numérico rápido para fixar (faça assim na prova para checar intuição):
Se n=5 e p=0,7, então X conta sucessos com p=0,7 e Y conta falhas com probabilidade 1-p=0,3. Por exemplo,
P(Y=2)=\binom{5}{2} (0,3)^{2} (0,7)^{3}.

Resposta

Y\sim \operatorname{Binomial}\bigl(n,\,1-p\bigr)
Interpretação: Y é o número de falhas (ou complementos de sucesso) em n ensaios de Bernoulli, cada um com probabilidade de falha 1-p.

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