Exercício 14: Se
, qual é o modelo de
? Interprete.
Passo 1
Enunciado e dados fornecidos: temos
com distribuição binomial de parâmetros
e
, isto é:
Foi definido
. O que o exercício pede:
- Determinar qual é o modelo/probabilidade de
(isto é, sua distribuição). - Interpretar esse resultado.
Informações relevantes dadas pelo enunciado:
Passo 2
Identificar o suporte (valores possíveis) de
.
Como
toma valores em
, então
toma valores em
também é
.)
Passo 3
Calcular a função massa de probabilidade de
para um valor genérico
.
Começamos pela definição:
Usando a PMF de
para
,
Passo 4
Simplificar a expressão usando a identidade combinatória
.
Portanto
Reescrevendo os fatores para destacar o parâmetro da nova binomial, observamos que isso é equivalente a
Passo 5
Reconhecer a forma da distribuição obtida.
A forma
é exatamente a função massa de probabilidade de uma variável binomial com
tentativas e probabilidade de “sucesso” igual a
. Logo
Passo 6
Interpretação intuitiva e combinatória (passo-a-passo, para lembrar na prova).
- A distribuição binomial
conta o número de sucessos em ensaios independentes de Bernoulli, sendo a probabilidade de sucesso em cada ensaio. - Se
conta sucessos, então conta quantas vezes o evento “não sucesso” (ou seja, falha) ocorreu nas mesmas tentativas. - A probabilidade de falha em cada tentativa é
. Portanto o número de falhas em tentativas é binomial com parâmetro . - Combinatoriamente, o coeficiente
aparece porque, para obter falhas, escolhemos quais das tentativas falharam; os fatores de probabilidade vêm de multiplicar vezes a probabilidade de falha e vezes a probabilidade de sucesso .
Passo 7
Propriedades úteis (que ajudam a checar resposta na prova):
- Esperança:
- Variância:
Isto confirma que a forma binomial com parâmetro
tem esperança
e variância
, consistentes com
.
Passo 8
Exemplo numérico rápido para fixar (faça assim na prova para checar intuição):
Se
e
, então
conta sucessos com
e
conta falhas com probabilidade
. Por exemplo,
Resposta
Interpretação: