Exercício 13. Dadas as retas
r:\left\{\begin{array}{l}x-m y+1=0 \\\ y-z-1=0\end{array} \quad s: x=\frac{y}{m}=z \quad t:\left\{\begin{array}{l}x+y-z=0 \\\ y+z+1=0\end{array}\right.\
calcule m em cada caso:
(5) s e t são coplanares

Passo 1

O enunciado dá três retas; aqui interessa apenas [s) e t. Vou listar claramente o que está dado e o que se pede.
  • Reta s está dada em forma simétrica:
s:\; x=\frac{y}{m}=z.
  • Reta t está dada por um sistema linear:
t:\begin{cases} x+y-z=0,\\[4pt] y+z+1=0. \end{cases}
O que o exercício pede: calcular todos os valores de m\] tais que as retas \(s e t sejam coplanares.]

Passo 2

Vamos escrever cada reta em forma paramétrica (ponto + vetor diretor). Para s use um parâmetro \lambda. Como x=\dfrac{y}{m}=z, chamo esse valor comum de \lambda. Portanto:
x=\lambda,\qquad y=m\lambda,\qquad z=\lambda.
Isto dá a forma paramétrica
s:\; (x,y,z)=(0,0,0)+\lambda(1,m,1).
Assim, um ponto de s é A=(0,0,0) (quando \lambda=0) e o vetor diretor de s é
v_s=(1,m,1).

Passo 3

Agora parametrizamos t\). Chamo o parâmetro de \(\mu\). Partindo do sistema \[\begin{cases} x+y-z=0,\\[4pt] y+z+1=0, \end{cases}
da segunda equação temos y=-1-z\]. Substituindo na primeira: \[x+(-1-z)-z=0 \quad\Rightarrow\quad x=1+2z.\] Tomando \(z=\mu como parâmetro, obtemos
x=1+2\mu,\qquad y=-1-\mu,\qquad z=\mu.
Portanto a forma paramétrica é
t:\; (x,y,z)=(1,-1,0)+\mu(2,-1,1).
Um ponto de t é B=(1,-1,0) e o vetor diretor é
v_t=(2,-1,1).]

Passo 4

Explicação do critério de coplanaridade (aula rápida): duas retas em \mathbb{R}^3 são coplanares se e somente se existe um plano que contém ambas. Um teste prático e muito usado é o seguinte:
  • Tome um ponto A em s e um ponto B em t.
  • Considere os vetores diretores v_s e v_t das retas.
  • Forme o vetor de ligação w=B-A.
  • As três retas/vetores w, v_s, v_t são coplanares exatamente quando o produto misto (ou produto triple) é zero:
w\cdot (v_s\times v_t)=0.
Vou aplicar esse critério. Aqui A=(0,0,0), B=(1,-1,0), v_s=(1,m,1), v_t=(2,-1,1).

Passo 5

Calcular o vetor de ligação:
w=B-A=(1,-1,0).

Passo 6

Calcular o produto vetorial v_s\times v_t. Usando a fórmula do determinante:
v_s\times v_t=\begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\[4pt] 1 & m & 1 \\[4pt] 2 & -1 & 1 \end{vmatrix}
Calculando componente a componente:
v_s\times v_t=\big(m\cdot1-1\cdot(-1),\; -(1\cdot1-1\cdot2),\;1\cdot(-1)-m\cdot2\big).
Simplificando:
v_s\times v_t=(m+1,\;1,\;-1-2m).]

Passo 7

Agora o produto misto:
w\cdot (v_s\times v_t)=(1,-1,0)\cdot(m+1,1,-1-2m).
Fazendo o produto escalar:
w\cdot (v_s\times v_t)=1\cdot(m+1)+(-1)\cdot1+0\cdot(-1-2m)=m+1-1=m.

Passo 8

Impondo a condição de coplanaridade w\cdot (v_s\times v_t)=0 obtemos
m=0.
Como verificação final: para m=0 a reta s tem vetor diretor (1,0,1) e equações paramétricas (\lambda,0,\lambda). Podemos verificar que existe \lambda e \mu tais que
(\lambda,0,\lambda)=(1+2\mu,-1-\mu,\mu).
Da segunda coordenada vem \mu=-1; então \lambda=\mu=-1 e a primeira e terceira coordenadas também coincidem. Logo, para m=0 as retas realmente se intersectam (portanto são coplanares). Não há outro valor de m que satisfaça o produto misto nulo.

Passo 9

Conclusão: o único valor de m que torna s e t coplanares é m=0.

Resposta

m=0

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