O que o exercício pede: calcular todos os valores de m\] tais que as retas \(s e t sejam coplanares.]
Passo 2
Vamos escrever cada reta em forma paramétrica (ponto + vetor diretor). Para s use um parâmetro \lambda. Como x=\dfrac{y}{m}=z, chamo esse valor comum de \lambda. Portanto:
x=\lambda,\qquad y=m\lambda,\qquad z=\lambda.
Isto dá a forma paramétrica
s:\; (x,y,z)=(0,0,0)+\lambda(1,m,1).
Assim, um ponto de s é A=(0,0,0) (quando \lambda=0) e o vetor diretor de s é
v_s=(1,m,1).
Passo 3
Agora parametrizamos t\). Chamo o parâmetro de \(\mu\). Partindo do sistema
\[\begin{cases} x+y-z=0,\\[4pt] y+z+1=0, \end{cases}
da segunda equação temos y=-1-z\]. Substituindo na primeira:
\[x+(-1-z)-z=0 \quad\Rightarrow\quad x=1+2z.\]
Tomando \(z=\mu como parâmetro, obtemos
x=1+2\mu,\qquad y=-1-\mu,\qquad z=\mu.
Portanto a forma paramétrica é
t:\; (x,y,z)=(1,-1,0)+\mu(2,-1,1).
Um ponto de t é B=(1,-1,0) e o vetor diretor é
v_t=(2,-1,1).]
Passo 4
Explicação do critério de coplanaridade (aula rápida): duas retas em \mathbb{R}^3 são coplanares se e somente se existe um plano que contém ambas. Um teste prático e muito usado é o seguinte:
Tome um ponto A em s e um ponto B em t.
Considere os vetores diretores v_s e v_t das retas.
Forme o vetor de ligação w=B-A.
As três retas/vetores w, v_s, v_t são coplanares exatamente quando o produto misto (ou produto triple) é zero:
w\cdot (v_s\times v_t)=0.
Vou aplicar esse critério. Aqui A=(0,0,0), B=(1,-1,0), v_s=(1,m,1), v_t=(2,-1,1).
Passo 5
Calcular o vetor de ligação:
w=B-A=(1,-1,0).
Passo 6
Calcular o produto vetorial v_s\times v_t. Usando a fórmula do determinante:
Impondo a condição de coplanaridade w\cdot (v_s\times v_t)=0 obtemos
m=0.
Como verificação final: para m=0 a reta s tem vetor diretor (1,0,1) e equações paramétricas (\lambda,0,\lambda). Podemos verificar que existe \lambda e \mu tais que
(\lambda,0,\lambda)=(1+2\mu,-1-\mu,\mu).
Da segunda coordenada vem \mu=-1; então \lambda=\mu=-1 e a primeira e terceira coordenadas também coincidem. Logo, para m=0 as retas realmente se intersectam (portanto são coplanares). Não há outro valor de m que satisfaça o produto misto nulo.
Passo 9
Conclusão: o único valor de m que torna s e t coplanares é m=0.