calcule m em cada caso:
(4) r, s e t são paralelas a um mesmo plano
Passo 1
O enunciado dá três retas r,\;s,\;t em \mathbb{R}^3 e pede os valores de m tais que r,\;s e t são paralelas a um mesmo plano.
Informações fornecidas (pegue cada equação do enunciado):
Reta r é interseção dos planosx-m y+1=0ey-z-1=0.
Reta s está dada porx=\frac{y}{m}=z.
Reta t é interseção dos planosx+y-z=0ey+z+1=0.
O que significa “r,\;s,\;t são paralelas a um mesmo plano”? Significa que existe um plano cuja direção contém as direções das três retas; equivalently, os vetores diretores das três retas devem estar contidos em (ou serem paralelos a) um mesmo plano, ou seja, esses três vetores devem ser coplanares.
Passo 2
Obter o vetor diretor de r.
Quando uma reta é interseção de dois planos, os vetores normais desses planos são perpendiculares à reta; portanto o vetor diretor da reta é o produto vetorial dos normais.
Normais dos planos que definem r:
n_1=(1,-m,0),\qquad n_2=(0,1,-1).
Lembrete rápido sobre produto vetorial: para a=(a_1,a_2,a_3) e b=(b_1,b_2,b_3),
Da segunda equação vem y=m\lambda. Assim a forma paramétrica é
(x,y,z)=\lambda(1,m,1).
Logo o vetor diretor de s é
v_s=(1,m,1).
Observação importante: a expressão original usa divisão por m, portanto a definição de s faz sentido apenas para m\neq0. Guardar esse fato para validar soluções.
Passo 4
Obter o vetor diretor de t.
Normais dos planos que definem t:
Critério de coplanaridade dos vetores diretores: três vetores a,b,c em \mathbb{R}^3 são coplanares se e somente se o determinante da matriz cujas linhas (ou colunas) são esses vetores é zero. Assim exigimos
\det\begin{pmatrix} m & 1 & 1\\[4pt] 1 & m & 1\\[4pt] 2 & -1 & 1 \end{pmatrix}=0,
onde as linhas são v_r,\;v_s,\;v_t.
Calcule o determinante por desenvolvimento (mostrando menores):
Agora aplicar a observação sobre s: a definição x=\dfrac{y}{m}=z exige m\neq0. Logo m=0 não é aceitável porque então s não está bem definida (divisão por zero). Assim a única solução válida é