Exercício 13. Dadas as retas
r:\left\{\begin{array}{l}x-m y+1=0 \\\ y-z-1=0\end{array} \quad s: x=\frac{y}{m}=z \quad t:\left\{\begin{array}{l}x+y-z=0 \\\ y+z+1=0\end{array}\right.\
calcule m em cada caso:
(4) r, s e t são paralelas a um mesmo plano

Passo 1

O enunciado dá três retas r,\;s,\;t em \mathbb{R}^3 e pede os valores de m tais que r,\;s e t são paralelas a um mesmo plano.
Informações fornecidas (pegue cada equação do enunciado):
  • Reta r é interseção dos planos x-m y+1=0e y-z-1=0.
  • Reta s está dada por x=\frac{y}{m}=z.
  • Reta t é interseção dos planos x+y-z=0e y+z+1=0.
O que significa “ r,\;s,\;t são paralelas a um mesmo plano”? Significa que existe um plano cuja direção contém as direções das três retas; equivalently, os vetores diretores das três retas devem estar contidos em (ou serem paralelos a) um mesmo plano, ou seja, esses três vetores devem ser coplanares.

Passo 2

Obter o vetor diretor de r.
Quando uma reta é interseção de dois planos, os vetores normais desses planos são perpendiculares à reta; portanto o vetor diretor da reta é o produto vetorial dos normais.
Normais dos planos que definem r:
n_1=(1,-m,0),\qquad n_2=(0,1,-1).
Lembrete rápido sobre produto vetorial: para a=(a_1,a_2,a_3) e b=(b_1,b_2,b_3),
a\times b=(a_2b_3-a_3b_2,\;a_3b_1-a_1b_3,\;a_1b_2-a_2b_1).
Aplicando:
v_r=n_1\times n_2=(1,-m,0)\times(0,1,-1).
Calcule componente a componente:
v_r=\big((-m)\cdot(-1)-0\cdot1,\;0\cdot0-1\cdot(-1),\;1\cdot1-(-m)\cdot0\big).
Simplificando:
v_r=(m,\;1,\;1).

Passo 3

Obter o vetor diretor de s.
A igualdade x=\dfrac{y}{m}=z indica que existe um parâmetro \lambda tal que
x=\lambda,\qquad \frac{y}{m}=\lambda,\qquad z=\lambda.
Da segunda equação vem y=m\lambda. Assim a forma paramétrica é
(x,y,z)=\lambda(1,m,1).
Logo o vetor diretor de s é
v_s=(1,m,1).
Observação importante: a expressão original usa divisão por m, portanto a definição de s faz sentido apenas para m\neq0. Guardar esse fato para validar soluções.

Passo 4

Obter o vetor diretor de t.
Normais dos planos que definem t:
n_3=(1,1,-1),\qquad n_4=(0,1,1).
O vetor diretor é
v_t=n_3\times n_4=(1,1,-1)\times(0,1,1).
Calcule:
v_t=\big(1\cdot1-(-1)\cdot1,\;(-1)\cdot0-1\cdot1,\;1\cdot1-1\cdot0\big).
Simplificando:
v_t=(2,-1,1).

Passo 5

Critério de coplanaridade dos vetores diretores: três vetores a,b,c em \mathbb{R}^3 são coplanares se e somente se o determinante da matriz cujas linhas (ou colunas) são esses vetores é zero. Assim exigimos
\det\begin{pmatrix} m & 1 & 1\\[4pt] 1 & m & 1\\[4pt] 2 & -1 & 1 \end{pmatrix}=0,
onde as linhas são v_r,\;v_s,\;v_t.
Calcule o determinante por desenvolvimento (mostrando menores):
\det= m\det\begin{pmatrix}m & 1\\\\ -1 & 1\end{pmatrix} -1\det\begin{pmatrix}1 & 1\\\\ 2 & 1\end{pmatrix} +1\det\begin{pmatrix}1 & m\\\\ 2 & -1\end{pmatrix}.
Calcule cada menor:
\det\begin{pmatrix}m & 1\\\\ -1 & 1\end{pmatrix}=m\cdot1-1\cdot(-1)=m+1,
\det\begin{pmatrix}1 & 1\\\\ 2 & 1\end{pmatrix}=1\cdot1-1\cdot2=-1,
\det\begin{pmatrix}1 & m\\\\ 2 & -1\end{pmatrix}=1\cdot(-1)-m\cdot2=-1-2m.
Substituindo:
\det = m(m+1) -1(-1) +1(-1-2m).
Simplificando passo a passo:
\det = m^2 + m +1 -1 -2m = m^2 - m.
Portanto a condição é
m^2-m=0.]

Passo 6

Resolver m^2-m=0:
m(m-1)=0 \quad\Rightarrow\quad m=0 \quad\text{ou}\quad m=1.
Agora aplicar a observação sobre s: a definição x=\dfrac{y}{m}=z exige m\neq0. Logo m=0 não é aceitável porque então s não está bem definida (divisão por zero). Assim a única solução válida é
m=1.

Resposta

m=1

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