Exercício 18. Obtenha a interseção da reta r com o plano \pi (se houver):
(3) r: \frac{x}{3}=\frac{y-1}{2}=\frac{z-3}{8} \pi:(1,0,0)+\lambda(1,0,0)+\mu(0,1,1) \quad (para \lambda, \mu \in \mathbb{R} )

Passo 1

O enunciado pede para encontrar a interseção da reta r com o plano \pi (se existir). Dados fornecidos:
  • Reta r na forma simétrica: \dfrac{x}{3}=\dfrac{y-1}{2}=\dfrac{z-3}{8}.
  • Plano \pi dado de forma paramétrica: (1,0,0)+\lambda(1,0,0)+\mu(0,1,1), com \lambda,\mu\in\mathbb{R}.
O que precisamos encontrar: um ponto P=(x,y,z) que pertença simultaneamente à reta r e ao plano \pi. Se existir, fornecer as coordenadas de P.

Passo 2

Converter a reta r da forma simétrica para a forma paramétrica com um parâmetro que eu chamo de t. A ideia: quando \dfrac{x}{3}=\dfrac{y-1}{2}=\dfrac{z-3}{8}, podemos igualar tudo a um parâmetro t. Assim:
\frac{x}{3}=t,\qquad \frac{y-1}{2}=t,\qquad \frac{z-3}{8}=t.
Daí obtemos as equações paramétricas da reta:
x = 3t,\qquad y = 1 + 2t,\qquad z = 3 + 8t,
com t\in\mathbb{R}. Explicação rápida: escolher um parâmetro é uma forma padrão de escrever coordenadas ao longo de uma reta — cada valor de t gera um ponto da reta.

Passo 3

Escrever as equações paramétricas do plano \pi. O plano foi dado por
(1,0,0)+\lambda(1,0,0)+\mu(0,1,1).
Isso significa que um ponto qualquer do plano tem coordenadas obtidas somando as componentes:
x = 1 + \lambda,\qquad y = 0 + \mu = \mu,\qquad z = 0 + \mu = \mu,
com \lambda,\mu\in\mathbb{R}. Observação: as duas direções que geram o plano são (1,0,0) e (0,1,1); por isso o componente y e z ficam ambos iguais a \mu.

Passo 4

Para que um ponto pertença simultaneamente à reta e ao plano, as coordenadas paramétricas devem coincidir. Igualando as expressões de x,y,z da reta (em função de t) com as do plano (em função de \lambda,\mu), obtemos o sistema:
3t = 1 + \lambda, \qquad 1 + 2t = \mu, \qquad 3 + 8t = \mu.
Aqui as incógnitas são t,\lambda,\mu. A ideia é encontrar valores desses parâmetros que satisfaçam todas as três equações ao mesmo tempo.

Passo 5

Eliminar \mu usando as duas equações que o envolvem. Como 1+2t=\mu e 3+8t=\mu, temos
1 + 2t = 3 + 8t.
Resolver essa equação para t. Subtraindo 1 de ambos os lados e reorganizando:
2t = 2 + 8t \quad\Rightarrow\quad 2t - 8t = 2 \quad\Rightarrow\quad -6t = 2.
Logo
t = -\frac{1}{3}.
Explicando a conta: movi todos os termos em t para um lado e os constantes para o outro, e dividi por -6.

Passo 6

Com t = -\dfrac{1}{3}, obtenho \mu a partir de \mu = 1 + 2t:
\mu = 1 + 2\left(-\frac{1}{3}\right) = 1 - \frac{2}{3} = \frac{1}{3}.
Passo a passo: 2\cdot(-1/3) = -2/3; somando com 1 = 3/3 resulta 1/3.

Passo 7

Determinar \lambda usando a primeira equação 3t = 1 + \lambda. Substituindo t:
3\left(-\frac{1}{3}\right) = 1 + \lambda \quad\Rightarrow\quad -1 = 1 + \lambda.
Assim
\lambda = -1 - 1 = -2.

Passo 8

Agora calcular as coordenadas do ponto correspondente usando as equações paramétricas da reta (ou do plano) com t = -\dfrac{1}{3}. Pelo lado da reta:
x = 3t = 3\left(-\frac{1}{3}\right) = -1,
y = 1 + 2t = 1 + 2\left(-\frac{1}{3}\right) = \frac{1}{3},
z = 3 + 8t = 3 + 8\left(-\frac{1}{3}\right) = 3 - \frac{8}{3} = \frac{1}{3}.
Verificação: y e z coincidem com \mu=\tfrac{1}{3} obtido antes, e x coincide com 1+\lambda = 1+(-2)=-1, então tudo é consistente. Isso significa que existe um ponto comum único entre a reta e o plano.

Resposta

\,(-1,\tfrac{1}{3},\tfrac{1}{3})

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