Exercício 18. Obtenha a interseção da reta
com o plano
(se houver):
(3)
(para
)
(3)
Passo 1
O enunciado pede para encontrar a interseção da reta
com o plano
(se existir). Dados fornecidos:
- Reta
na forma simétrica: . - Plano
dado de forma paramétrica: , com .
O que precisamos encontrar: um ponto
que pertença simultaneamente à reta
e ao plano
. Se existir, fornecer as coordenadas de
.
Passo 2
Converter a reta
da forma simétrica para a forma paramétrica com um parâmetro que eu chamo de
. A ideia: quando
, podemos igualar tudo a um parâmetro
. Assim:
Daí obtemos as equações paramétricas da reta:
com
. Explicação rápida: escolher um parâmetro é uma forma padrão de escrever coordenadas ao longo de uma reta — cada valor de
gera um ponto da reta.
Passo 3
Escrever as equações paramétricas do plano
. O plano foi dado por
Isso significa que um ponto qualquer do plano tem coordenadas obtidas somando as componentes:
com
. Observação: as duas direções que geram o plano são
e
; por isso o componente
e
ficam ambos iguais a
.
Passo 4
Para que um ponto pertença simultaneamente à reta e ao plano, as coordenadas paramétricas devem coincidir. Igualando as expressões de
da reta (em função de
) com as do plano (em função de
), obtemos o sistema:
Aqui as incógnitas são
. A ideia é encontrar valores desses parâmetros que satisfaçam todas as três equações ao mesmo tempo.
Passo 5
Eliminar
usando as duas equações que o envolvem. Como
e
, temos
Resolver essa equação para
. Subtraindo
de ambos os lados e reorganizando:
Logo
Explicando a conta: movi todos os termos em
para um lado e os constantes para o outro, e dividi por
.
Passo 6
Com
, obtenho
a partir de
:
Passo a passo:
; somando com
resulta
.
Passo 7
Determinar
usando a primeira equação
. Substituindo
:
Assim
Passo 8
Agora calcular as coordenadas do ponto correspondente usando as equações paramétricas da reta (ou do plano) com
. Pelo lado da reta:
Verificação:
e
coincidem com
obtido antes, e
coincide com
, então tudo é consistente. Isso significa que existe um ponto comum único entre a reta e o plano.