Exercício 13. Dadas as séries,
a) f(x)=\sum_{n=1}^{+\infty} \frac{x^{n}}{n^{2}};
b) f(x)=\sum_{n=1}^{+\infty}(-1)^{n-1} \frac{x^{n}}{n};
c) f(x)=\sum_{n=1}^{+\infty} \frac{x^{n}}{\sqrt{n}}.
faça o seguinte:
i) ache o raio de convergência e domínio de f.
ii) escreva as série de potências que define a função f^{\prime} e ache o seu raio de convergência (Teorema 3.16);
iii) ache o domínio de f^{\prime}.

Passo 1

Vou organizar exatamente o que o enunciado pede, item por item, e listar as informações dadas para cada série. Assim a gente não se perde no que temos que fazer.
a) A série é f(x)=\sum_{n=1}^{\infty}\dfrac{x^{n}}{n^{2}}.
b) A série é f(x)=\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n-1}\dfrac{x^{n}}{n}.
c) A série é f(x)=\sum_{n=1}^{\infty}\dfrac{x^{n}}{\sqrt{n}}.
Para cada uma das séries devemos fazer:
i) achar o raio de convergência R e o domínio (conjunto de x reais onde a série converge);
ii) escrever a série de potências que define f'(x) (ou seja, derivar termo a termo) e achar o raio de convergência da série derivada (aplicando o Teorema 3.16 que garante que a derivação termo a termo mantém o mesmo raio);
iii) achar o domínio de f' (onde a derivada existe — vou tratar os extremos separadamente, verificando convergência e diferenciabilidade).
Não vou resolver nada ainda; só garanti que o pedido está claro e que tenho todas as informações. Agora vou desenvolver passo a passo a teoria necessária e aplicar a cada série.

Passo 2

Fórmula prática para o raio de convergência: para uma série de potências \sum a_n x^n o raio de convergência R pode ser encontrado por Cauchy–Hadamard:
R=\frac{1}{\limsup_{n\to\infty}\sqrt[n]{|a_n|}}.
Explicando: \sqrt[n]{|a_n|} é a raiz enésima do coeficiente; se essa sequência tem limite L, então R=1/L. Exemplos simples: se a_n=c constante não nula, então \sqrt[n]{|a_n|}\to1 e R=1. Se a_n=1/n^p, então \sqrt[n]{a_n}=(1/n^p)^{1/n}=n^{-p/n}\to1, logo R=1.
Além disso: dentro do intervalo |x|<R podemos derivar termo a termo e a série derivada tem mesmo raio R. Nos pontos com |x|=R é preciso testar convergência caso a caso (p. ex. séries p, alternadas, teste da razão/raiz, teste de Leibniz).

Passo 3

Vou aplicar o critério do passo anterior para achar os raios das três séries, calculando \limsup_{n\to\infty}\sqrt[n]{|a_n|} quando a_n é o coeficiente de x^n.
a) a_n=\dfrac{1}{n^{2}}. Temos
\sqrt[n]{|a_n|}=\sqrt[n]{\frac{1}{n^{2}}}=n^{-2/n}\xrightarrow[n\to\infty]{}1.
Logo R=\dfrac{1}{1}=1.
b) a_n=(-1)^{n-1}\dfrac{1}{n}. Aqui |a_n|=1/n, e
\sqrt[n]{|a_n|}=(1/n)^{1/n}=n^{-1/n}\xrightarrow[n\to\infty]{}1,
logo R=1.
c) a_n=\dfrac{1}{\sqrt{n}}. Então
\sqrt[n]{|a_n|}=n^{-1/(2n)}\xrightarrow[n\to\infty]{}1,
logo R=1.
Resumo: todas as três séries têm raio de convergência R=1. Agora precisamos estudar a convergência nos extremos x=1 e x=-1 para obter os domínios.

Passo 4

Estudo das convergências nos extremos (para decidir o domínio de cada f).
a) Para f(x)=\sum_{n=1}^{\infty}\dfrac{x^n}{n^2}:
  • Em x=1: a série fica \sum_{n=1}^{\infty}\dfrac{1}{n^2}, que é p-série com p=2>1, convergente (convergência absoluta).
  • Em x=-1: a série fica \sum_{n=1}^{\infty}\dfrac{(-1)^n}{n^2}. Como \sum 1/n^2 converge, essa também converge absolutamente.
    Portanto o domínio é o intervalo fechado [-1,1].
b) Para f(x)=\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n-1}\dfrac{x^n}{n}:
  • Em x=1: a série é \sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n-1}\dfrac{1}{n}, que é a série harmônica alternada (série de Leibniz) e converge (o somatório é \ln 2).
  • Em x=-1: a série é \sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n-1}\dfrac{(-1)^n}{n}=\sum_{n=1}^{\infty}-\dfrac{1}{n}=-\sum_{n=1}^{\infty}\dfrac{1}{n}, que diverge (harmônica).
    Portanto o domínio é (-1,1] (inclui 1, exclui -1).
c) Para f(x)=\sum_{n=1}^{\infty}\dfrac{x^n}{\sqrt{n}}:
  • Em x=1: \sum_{n=1}^{\infty}\dfrac{1}{\sqrt{n}}=\sum n^{-1/2} diverge (p-série com p=1/2\le1).
  • Em x=-1: \sum_{n=1}^{\infty}\dfrac{(-1)^n}{\sqrt{n}} converge por teste de Leibniz (série alternada com termos decrescentes em módulo e que tendem a zero).
    Portanto o domínio é [-1,1) (inclui -1, exclui 1).
Até aqui: raios R=1 para todos; domínios obtidos pelos testes acima. Agora vamos derivar termo a termo e estudar a série derivada e seus extremos.

Passo 5

Teorema (esquemático e usado aqui): se \sum a_n x^n tem raio R>0, então a série derivada \sum n a_n x^{n-1} tem o mesmo raio R (é justamente o que o enunciado cita como Teorema 3.16). Assim, para cada caso a série derivada terá raio 1. Vou, porém, escrever explicitamente a série derivada em cada caso e analisar a convergência nos extremos |x|=1.
a) Derivando termo a termo
f'(x)=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{d}{dx}\left(\frac{x^n}{n^2}\right)=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{n x^{n-1}}{n^2}=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{x^{n-1}}{n}.
Posso reindexar (útil para comparar): com m=n-1,
f'(x)=\sum_{m=0}^{\infty}\frac{x^{m}}{m+1}.
Pelo teorema, o raio da série derivada é R=1. Resta testar convergência em x=\pm1.
  • Em x=1: temos \sum_{n=1}^\infty \dfrac{1}{n} que diverge (série harmônica).
  • Em x=-1: temos \sum_{n=1}^\infty \dfrac{(-1)^{n-1}}{n} que converge (série alternada de Leibniz, soma \ln 2).
Conclusão provisória: a série derivada converge para |x|<1 e em x=-1, mas diverge em x=1. Vou explicar por que isso dá a diferenciabilidade de f nesses pontos no passo seguinte.
b) Derivando termo a termo
f'(x)=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{d}{dx}\left((-1)^{n-1}\frac{x^n}{n}\right)=\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n-1}x^{n-1}.
Reindexando com m=n-1,
f'(x)=\sum_{m=0}^{\infty}(-1)^{m}x^{m}.
Isto é uma série geométrica de razão -x. O raio pelo teorema é R=1. Para |x|<1 essa soma é \dfrac{1}{1+ x}. Teste nos extremos:
  • Em x=1: f'(1)=\sum_{m=0}^\infty (-1)^m que é 1-1+1-1+\dots — não converge no sentido usual (não tem limite).
  • Em x=-1: f'(-1)=\sum_{m=0}^\infty 1+1+\dots diverge porque os termos não vão a zero.
Logo a série derivada converge apenas para |x|<1.
c) Derivando termo a termo
f'(x)=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{d}{dx}\left(\frac{x^n}{\sqrt{n}}\right)=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{n x^{n-1}}{\sqrt{n}}=\sum_{n=1}^{\infty}\sqrt{n}\,x^{n-1}.
Raio pelo teorema: R=1. Verificação nos extremos:
  • Em x=1: \sum_{n=1}^\infty \sqrt{n} diverge (termos não tendem a zero).
  • Em x=-1: \sum_{n=1}^\infty \sqrt{n}(-1)^{n-1} também diverge porque os termos em módulo \sqrt{n} não tendem a zero (condição necessária para convergência falha).
Logo a série derivada converge somente para |x|<1.

Passo 6

Agora preciso relacionar convergência da série derivada com a existência real da derivada f'(x) (isto é, se a função dada pela soma da série original é efetivamente diferenciável em cada ponto do domínio que encontramos). Principais pontos práticos que uso:
  • Em qualquer ponto do intervalo aberto (-R,R) a função definida pela soma da série é diferenciável e a derivada é dada pela série derivada (Teorema padrão de séries de potências). Portanto, para |x|<1 em todos os três casos temos differentiabilidade e a expressão para f' encontrada vale.
  • Em pontos de borda |x|=1 é preciso checar caso a caso:
    • Se a série derivada converge em um extremo, então costuma-se poder trocar limite e somatório e concluir que f é diferenciável ali e que f' é igual ao valor da série derivada naquele ponto. Vou usar essa ideia (é uma consequência técnica de somação por partes / Abel): quando a série derivada converge em um extremo e a série original converge no extremo, normalmente o termo a termo define a derivada (vou aplicar diretamente nos casos onde a série derivada converge).
    • Se a série derivada diverge no extremo, em geral f não é diferenciável naquele extremo (pelo menos não com derivada finita correspondente à soma formal); pode haver situações peculiares de existência de derivada mesmo com série derivada divergente, então preciso checar um por um.
Aplicando isso:
a) Para \sum x^n/n^2:
  • Em x=-1: a série derivada \sum (-1)^{n-1}/n converge (alternada). A série original também converge em -1. Portanto f é diferenciável em x=-1 e f'(-1)=\sum_{n=1}^\infty \dfrac{(-1)^{n-1}}{n}=\ln 2.
  • Em x=1: a série derivada diverge ( \sum 1/n), logo f não é diferenciável em x=1 (a inclinação tenderia a infinito; o quociente incremental não tem limite finito).
Logo domínio de f' (pontos onde f tem derivada real) é [-1,1) : todo (-1,1) (pelo teorema) mais o ponto -1 (porque a série derivada converge ali).
b) Para \sum(-1)^{n-1}x^n/n:
  • Em x=1: a série original converge (soma \ln 2). A série derivada \sum (-1)^{n-1} não converge; contudo sabemos explicitamente a função dentro do interior: para -1<x<1 essa série é a expansão de \ln(1+x), e \ln(1+x) tem limite de derivada pela esquerda em x=1 igual a 1/(1+1)=1/2. Como a função está definida em (-1,1] (tem valor em x=1), podemos verificar a derivada na borda pelo quociente de diferença lateral (h→0^-). O limite lateral existe e é 1/2, portanto f tem derivada à esquerda em x=1 — isto significa que, considerando o domínio da função, f é diferenciável em x=1 (no sentido de derivada em seu domínio: limite de incrementos quando h\to0 mantendo x+h no domínio).
  • Em x=-1: a série original diverge, logo nem se coloca a questão da derivada aí.
Portanto f' existe para -1<x<1 (pela teoria) e também existe em x=1 (derivada lateral é finita e igual a 1/2). Logo domínio de f' é (-1,1].
Observação: a série de potências que representa f' não converge em x=1, ou seja, a derivada existe em x=1 mas não é dada pela soma da série derivada em x=1.
c) Para \sum x^n/\sqrt{n}:
  • A série derivada é \sum \sqrt{n}\,x^{n-1} e diverge em x=\pm1 (os termos não tendem a zero). A série original converge em x=-1 mas a série derivada diverge ali; em geral isso impede a existência de derivada finita em x=-1. Podemos dizer que f não é diferenciável em x=-1 (o quociente incremental não tem limite finito), e claramente não é diferenciável em x=1 porque a série original sequer converge em x=1.
    Logo domínio de f' é apenas o interior (-1,1).

Passo 7

Vou resumir as expressões finais para f', os seus raios e os domínios de f e de f' — já com a argumentação dos passos anteriores aplicada. (Isto é o que você precisa saber para a prova: como usar a raiz/Leibniz e como tratar extremos.)
a) Para f(x)=\sum_{n=1}^{\infty}\dfrac{x^n}{n^2}:
  • Raio de convergência: R=1.
  • Domínio de f: [-1,1] (converge em ambos os extremos).
  • Derivada por termo a termo:
f'(x)=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{x^{n-1}}{n}=\sum_{m=0}^{\infty}\frac{x^{m}}{m+1},
com raio R=1.
  • Domínio de f': [-1,1) — a série derivada converge para |x|<1 e também em x=-1 (alternada), mas diverge em x=1.
b) Para f(x)=\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n-1}\dfrac{x^{n}}{n}:
  • Raio de convergência: R=1.
  • Domínio de f: (-1,1] (converge em x=1, diverge em x=-1).
  • Derivada por termo a termo:
f'(x)=\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n-1}x^{n-1}=\sum_{m=0}^{\infty}(-1)^{m}x^{m},
com raio R=1. Para |x|<1 essa soma é \dfrac{1}{1+x}.
  • Domínio de f': (-1,1]. Apesar da série derivada não convergir em x=1, a função f (que coincide com \ln(1+x) para -1<x<1 e tem valor \ln 2 em x=1) tem derivada à esquerda em x=1 igual a 1/2; portanto f' existe em x=1. Em x=-1 não existe.
c) Para f(x)=\sum_{n=1}^{\infty}\dfrac{x^{n}}{\sqrt{n}}:
  • Raio de convergência: R=1.
  • Domínio de f: [-1,1) (converge em x=-1, diverge em x=1).
  • Derivada por termo a termo:
f'(x)=\sum_{n=1}^{\infty}\sqrt{n}\,x^{n-1},
com raio R=1.
  • Domínio de f': (-1,1). A série derivada diverge em x=\pm1, e portanto f não é diferenciável nesses pontos.

Resposta

a) i) R=1. Domínio de f: [-1,1].\n\quad ii) f'(x)=\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\dfrac{x^{n-1}}{n}=\sum_{m=0}^{\infty}\dfrac{x^{m}}{m+1}. Raio de f': R=1.\n\quad iii) Domínio de f': [-1,1).
b) i) R=1. Domínio de f: (-1,1].\n\quad ii) f'(x)=\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n-1}x^{n-1}=\sum_{m=0}^{\infty}(-1)^{m}x^{m}. Raio de f': R=1.\n\quad iii) Domínio de f': (-1,1].
c) i) R=1. Domínio de f: [-1,1).\n\quad ii) f'(x)=\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\sqrt{n}\,x^{n-1}. Raio de f': R=1.\n\quad iii) Domínio de f': (-1,1).

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