Determine o intervalo de convergência das séries de potências dadas.
\sum_{n=1}^{+\infty}(-1)^{n+1} \frac{x^{2 n-1}}{(2 n-1)!}.

Passo 1

O enunciado pede: determinar o intervalo de convergência da série de potências
\sum_{n=1}^{+\infty}(-1)^{n+1}\frac{x^{2n-1}}{(2n-1)!}.
Informações dadas que vamos usar: a série é dada termo a termo por \displaystyle a_n(x)=(-1)^{n+1}\frac{x^{2n-1}}{(2n-1)!} com índice n=1,2,3,\dots. A pergunta principal é: para quais valores de x\in\mathbb{R} essa série converge?

Passo 2

Vamos analisar a convergência absoluta usando o Teste da Razão (ou Critério de D’Alembert). Primeiro, escrevo o termo geral em módulo:
|a_n(x)|=\frac{|x|^{2n-1}}{(2n-1)!}.
O Teste da Razão pede que calculemos o limite
L=\lim_{n\to\infty}\left|\frac{a_{n+1}(x)}{a_n(x)}\right|.
Se L<1 a série converge absolutamente; se L>1 diverge; se L=1 o teste é inconclusivo.

Passo 3

Calculo a razão entre termos consecutivos (tomando módulo para eliminar o sinal alternante):
\left|\frac{a_{n+1}(x)}{a_n(x)}\right| =\frac{|x|^{2(n+1)-1}}{(2(n+1)-1)!}\cdot\frac{(2n-1)!}{|x|^{2n-1}}.
Simplificando as potências de x e os fatoriais:
\left|\frac{a_{n+1}(x)}{a_n(x)}\right| =\frac{|x|^{2}}{(2n+1)(2n)}.

Passo 4

Agora tomo o limite quando n\to\infty:
L=\lim_{n\to\infty}\frac{|x|^{2}}{(2n+1)(2n)}.
Como o denominador cresce como 4n^2, temos
L=0
para todo x\in\mathbb{R}, porque |x|^2 é fixo e (2n+1)(2n)\to\infty. Como L=0<1, o Teste da Razão garante convergência absoluta para qualquer valor real de x.

Passo 5

Convergência absoluta para todo x implica que o raio de convergência da série de potências é infinito. Em termos de intervalo de convergência isso significa que a série converge para todo real \,x\in(-\infty,\infty).

Passo 6

(Fato adicional — ajuda a entender a série) Observando a forma dos coeficientes, podemos reconhecer a série como a série de Taylor (Maclaurin) da função \sin x. De fato, fazendo m=n-1 obtemos
\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n+1}\frac{x^{2n-1}}{(2n-1)!} =\sum_{m=0}^{\infty}(-1)^{m}\frac{x^{2m+1}}{(2m+1)!} =\sin x.
Sabendo que \sin x é uma função inteira (analítica em todo \mathbb{R}), isso confirma novamente que a série converge para todo x\in\mathbb{R}.

Resposta

(-\infty,\infty)

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