Informações dadas que vamos usar: a série é dada termo a termo por \displaystyle a_n(x)=(-1)^{n+1}\frac{x^{2n-1}}{(2n-1)!} com índice n=1,2,3,\dots. A pergunta principal é: para quais valores de x\in\mathbb{R} essa série converge?
Passo 2
Vamos analisar a convergência absoluta usando o Teste da Razão (ou Critério de D’Alembert). Primeiro, escrevo o termo geral em módulo:
para todo x\in\mathbb{R}, porque |x|^2 é fixo e (2n+1)(2n)\to\infty. Como L=0<1, o Teste da Razão garante convergência absoluta para qualquer valor real de x.
Passo 5
Convergência absoluta para todo x implica que o raio de convergência da série de potências é infinito. Em termos de intervalo de convergência isso significa que a série converge para todo real \,x\in(-\infty,\infty).
Passo 6
(Fato adicional — ajuda a entender a série) Observando a forma dos coeficientes, podemos reconhecer a série como a série de Taylor (Maclaurin) da função \sin x. De fato, fazendo m=n-1 obtemos