Exercício 13: Determine o valor das integrais
\quad \int_{-\infty}^{+\infty} \operatorname{sinc}(t) d t

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral imprópria
\int_{-\infty}^{+\infty} \operatorname{s{sinc}}(t)\,dt.
Vou assumir a definição usual em matemática (quando não está especificado):
\operatorname{s{sinc}}(t)=\frac{\sin t}{t}\quad\text{com}\quad \operatorname{s{sinc}}(0)=\lim_{t\to0}\frac{\sin t}{t}=1.
Informações relevantes dadas:
\text{integrando: }\operatorname{s{sinc}}(t)=\frac{\sin t}{t},\qquad \text{intervalo: }(-\infty,\infty).
O objetivo é encontrar o valor numérico dessa integral imprópria (se convergir).

Passo 2

Observação sobre simetria: a função \operatorname{s{sinc}}(t)=\dfrac{\sin t}{t} é uma função par, porque
\operatorname{s{sinc}}(-t)=\frac{\sin(-t)}{-t}=\frac{-\sin t}{-t}=\frac{\sin t}{t}=\operatorname{s{sinc}}(t).
Como é par, a integral sobre (-\infty,\infty) pode ser escrita como o dobro da integral sobre (0,\infty):
\int_{-\infty}^{\infty}\frac{\sin t}{t}\,dt=2\int_{0}^{\infty}\frac{\sin t}{t}\,dt.
Portanto basta calcular \displaystyle\int_{0}^{\infty}\frac{\sin t}{t}\,dt.

Passo 3

Para calcular \displaystyle\int_{0}^{\infty}\frac{\sin t}{t}\,dt vou usar um truque com um fator de amortecimento (método clássico): defino a função parametrizada, para s>0,
J(s)=\int_{0}^{\infty} e^{-s t}\,\frac{\sin t}{t}\,dt.
Esse integral converge absolutamente para s>0 por causa do fator e^{-st}. A ideia é calcular J(s) explicitamente e depois fazer s\to0^+ para recuperar o integral original sem amortecimento.

Passo 4

Calculo a derivada de J(s) em relação a s. Posso trocar derivação e integração porque o integrando e^{-st}\frac{\sin t}{t} é dominado por uma função integrável para s>0 (justificação heurística adequada para nossa prova). Assim,
J'(s)=\frac{d}{ds}\int_{0}^{\infty} e^{-s t}\frac{\sin t}{t}\,dt =-\int_{0}^{\infty} t\,e^{-s t}\frac{\sin t}{t}\,dt =-\int_{0}^{\infty} e^{-s t}\sin t\,dt.

Passo 5

Agora avaliamos \displaystyle\int_{0}^{\infty} e^{-s t}\sin t\,dt para s>0. Uma maneira simples é usar exponencial complexa:
\int_{0}^{\infty} e^{-s t}\sin t\,dt=\operatorname{Im}\int_{0}^{\infty} e^{-s t}e^{i t}\,dt =\operatorname{Im}\int_{0}^{\infty} e^{-(s-i)t}\,dt.
A integral geométrica é
\int_{0}^{\infty} e^{-(s-i)t}\,dt=\left[\frac{e^{-(s-i)t}}{-(s-i)}\right]_{0}^{\infty}=\frac{1}{s-i}\quad(\text{porque }s>0\text{ garante decaimento no infinito}).
Tomando a parte imaginária,
\operatorname{Im}\!\left(\frac{1}{s-i}\right)=\operatorname{Im}\!\left(\frac{s+i}{s^{2}+1}\right)=\frac{1}{s^{2}+1}.
Portanto
\int_{0}^{\infty} e^{-s t}\sin t\,dt=\frac{1}{s^{2}+1}.

Passo 6

Voltando a J'(s), obtemos
J'(s)=-\frac{1}{s^{2}+1}.
Integramos em s:
J(s)=-\int \frac{1}{s^{2}+1}\,ds = -\arctan(s)+C,
onde C é constante de integração. Para determinar C, usamos o limite s\to+\infty. Quando s\to+\infty o fator e^{-st} faz J(s)\to0, logo
0=\lim_{s\to\infty}J(s)=\lim_{s\to\infty}\big(-\arctan(s)+C\big)=-\frac{\pi}{2}+C,
portanto C=\dfrac{\pi}{2}. Assim
J(s)=\frac{\pi}{2}-\arctan(s).

Passo 7

Agora fazemos s\to0^+ para recuperar a integral sem amortecimento:
\int_{0}^{\infty}\frac{\sin t}{t}\,dt=J(0)=\frac{\pi}{2}-\arctan(0)=\frac{\pi}{2}.

Passo 8

Finalmente, usando a simetria par do integrando (Passo 2),
\int_{-\infty}^{\infty}\frac{\sin t}{t}\,dt=2\cdot\frac{\pi}{2}=\pi.
Uma observação prática: em t=0 há uma indeterminação \frac{0}{0}, mas como \lim_{t\to0}\dfrac{\sin t}{t}=1 podemos definir a função por continuidade em 0 e isso não afeta a integral.

Resposta

\pi

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