Exercício 13: Determine o valor das integrais
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral imprópria
Vou assumir a definição usual em matemática (quando não está especificado):
Informações relevantes dadas:
O objetivo é encontrar o valor numérico dessa integral imprópria (se convergir).
Passo 2
Observação sobre simetria: a função
é uma função par, porque
Como é par, a integral sobre
pode ser escrita como o dobro da integral sobre
:
Portanto basta calcular
.
Passo 3
Para calcular
vou usar um truque com um fator de amortecimento (método clássico): defino a função parametrizada, para
,
Esse integral converge absolutamente para
por causa do fator
. A ideia é calcular
explicitamente e depois fazer
para recuperar o integral original sem amortecimento.
Passo 4
Calculo a derivada de
em relação a
. Posso trocar derivação e integração porque o integrando
é dominado por uma função integrável para
(justificação heurística adequada para nossa prova). Assim,
Passo 5
Agora avaliamos
para
. Uma maneira simples é usar exponencial complexa:
A integral geométrica é
Tomando a parte imaginária,
Portanto
Passo 6
Voltando a
, obtemos
Integramos em
:
onde
é constante de integração. Para determinar
, usamos o limite
. Quando
o fator
faz
, logo
portanto
. Assim
Passo 7
Agora fazemos
para recuperar a integral sem amortecimento:
Passo 8
Finalmente, usando a simetria par do integrando (Passo 2),
Uma observação prática: em
há uma indeterminação
, mas como
podemos definir a função por continuidade em
e isso não afeta a integral.