Informações dadas: a função escrita é \operatorname{sinc}(t), mas o enunciado não definiu explicitamente qual convenção de \operatorname{sinc} está usando. Há duas convenções comuns:
Convenção A (não normalizada): \operatorname{sinc}(t)=\dfrac{\sin t}{t}.
Convenção B (normalizada, muito usada em processamento de sinais): \operatorname{sinc}(t)=\dfrac{\sin(\pi t)}{\pi t}.
Vou primeiro resolver assumindo a Convenção A, isto é, \operatorname{sinc}(t)=\dfrac{\sin t}{t}. No final eu mostro rapidamente o resultado para a Convenção B e a relação entre os dois resultados.
Passo 2
Vamos introduzir uma ferramenta que resolve este tipo de integral de forma elegante: a transformada de Fourier e o Teorema de Plancherel (ou Parseval para a transformada de Fourier). Vou apresentar a convenção que uso e explicar por que isso é útil.
O Teorema de Plancherel, nesta normalização, diz que a energia da função no tempo é igual à energia da sua transformada no domínio da frequência, com um fator 1/(2\pi):
Intuição rápida: Plancherel é uma versão do Teorema de Pitágoras para funções; trocar entre tempo e frequência conserva “energia” até um fator de normalização que depende da convenção usada na transformada. Esse é um método poderoso porque às vezes \widehat{f} é uma função simples (por exemplo, uma função retângulo), e calcular sua energia é fácil.
Passo 3
Definimos a função cuja energia queremos calcular:
f(t)=\frac{\sin t}{t}.
Primeiro nota: f(t)\) é contínua com a definição contínua no ponto \(t=0\) por limite:
\[\lim_{t\to 0}\frac{\sin t}{t}=1,
então podemos estender f(0)=1.
Queremos encontrar \widehat{f}(\omega). Em vez de calcular diretamente \widehat{f}, é mais fácil começar com a função janela retangular no domínio da frequência. Defina
Comentários sobre pontos singulares: nos pontos |\omega|=1\] o valor da transformada pode ser tomado como \(\pi/2 por continuidade em certas convenções, mas isso não afeta integrais porque é um conjunto de medida zero.
Breve observação final sobre a Convenção B (normalizada): se a definição usada fosse \operatorname{sinc}(t)=\dfrac{\sin(\pi t)}{\pi t}, então faça a mudança de variável u=\pi t. Note que
Portanto, com a Convenção B (normalizada), o valor da integral é 1. Isso mostra a relação simples por escala entre as duas convenções.
Força aí — você já viu a técnica principal: reconhecer a transformada (ou a função retângulo) e aplicar Plancherel. Dá para decorar: para \sin t/t a integral do quadrado é \pi; para a versão normalizada \sin(\pi t)/(\pi t) a integral do quadrado é 1.