Exercício 13: Determine o valor das integrais
\quad \int_{-\infty}^{+\infty} \operatorname{sinc}^{2}(t) d t

Passo 1

O enunciado pede o valor da integral
\int_{-\infty}^{+\infty} \operatorname{sinc}^{2}(t)\,dt.
Informações dadas: a função escrita é \operatorname{sinc}(t), mas o enunciado não definiu explicitamente qual convenção de \operatorname{sinc} está usando. Há duas convenções comuns:
  • Convenção A (não normalizada): \operatorname{sinc}(t)=\dfrac{\sin t}{t}.
  • Convenção B (normalizada, muito usada em processamento de sinais): \operatorname{sinc}(t)=\dfrac{\sin(\pi t)}{\pi t}.
Vou primeiro resolver assumindo a Convenção A, isto é, \operatorname{sinc}(t)=\dfrac{\sin t}{t}. No final eu mostro rapidamente o resultado para a Convenção B e a relação entre os dois resultados.

Passo 2

Vamos introduzir uma ferramenta que resolve este tipo de integral de forma elegante: a transformada de Fourier e o Teorema de Plancherel (ou Parseval para a transformada de Fourier). Vou apresentar a convenção que uso e explicar por que isso é útil.
Definimos a transformada de Fourier de f(t) por
\widehat{f}(\omega)=\int_{-\infty}^{\infty} f(t)\,e^{-i\omega t}\,dt
e a transformada inversa por
f(t)=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}\widehat{f}(\omega)\,e^{i\omega t}\,d\omega.
O Teorema de Plancherel, nesta normalização, diz que a energia da função no tempo é igual à energia da sua transformada no domínio da frequência, com um fator 1/(2\pi):
\int_{-\infty}^{\infty} |f(t)|^{2}\,dt = \frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty} |\widehat{f}(\omega)|^{2}\,d\omega.
Intuição rápida: Plancherel é uma versão do Teorema de Pitágoras para funções; trocar entre tempo e frequência conserva “energia” até um fator de normalização que depende da convenção usada na transformada. Esse é um método poderoso porque às vezes \widehat{f} é uma função simples (por exemplo, uma função retângulo), e calcular sua energia é fácil.

Passo 3

Definimos a função cuja energia queremos calcular:
f(t)=\frac{\sin t}{t}.
Primeiro nota: f(t)\) é contínua com a definição contínua no ponto \(t=0\) por limite: \[\lim_{t\to 0}\frac{\sin t}{t}=1,
então podemos estender f(0)=1.
Queremos encontrar \widehat{f}(\omega). Em vez de calcular diretamente \widehat{f}, é mais fácil começar com a função janela retangular no domínio da frequência. Defina
g(\omega)=\begin{cases} 1, & |\omega|\le 1,\\[4pt] 0, & |\omega|>1. \end{cases}
Esta é a função “retângulo” de suporte [-1,1]\]. Agora calculemos a transformada inversa de \[g; pela fórmula da transformada inversa:
\frac{1}{2\pi}\int_{-1}^{1} e^{i\omega t}\,d\omega
fazendo essa integral (integral elementar de exponencial):
\int_{-1}^{1} e^{i\omega t}\,d\omega = \left.\frac{e^{i\omega t}}{i t}\right|_{\omega=-1}^{\omega=1} = \frac{e^{it}-e^{-it}}{i t} = \frac{2\sin t}{t}.
Portanto a transformada inversa dá
\frac{1}{2\pi}\int_{-1}^{1} e^{i\omega t}\,d\omega = \frac{1}{2\pi}\cdot\frac{2\sin t}{t} = \frac{1}{\pi}\cdot\frac{\sin t}{t}.
Ou seja,
\frac{\sin t}{t} = \pi\cdot \frac{1}{2\pi}\int_{-1}^{1} e^{i\omega t}\,d\omega
mostra que a transformada direta da função f(t)=\dfrac{\sin t}{t} é
\widehat{f}(\omega)=\pi\cdot g(\omega)=\begin{cases} \pi, & |\omega|\le 1,\\[4pt] 0, & |\omega|>1. \end{cases}
Comentários sobre pontos singulares: nos pontos |\omega|=1\] o valor da transformada pode ser tomado como \(\pi/2 por continuidade em certas convenções, mas isso não afeta integrais porque é um conjunto de medida zero.
Resumo: com a convenção escolhida,
\widehat{\,\dfrac{\sin t}{t}\,}(\omega)=\pi\,\mathbf{1}_{[-1,1]}(\omega),
onde \mathbf{1}_{[-1,1]} é a função indicadora do intervalo [-1,1].]

Passo 4

Agora aplicamos Plancherel para calcular a integral desejada:
\int_{-\infty}^{\infty}\left(\frac{\sin t}{t}\right)^{2} dt = \frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty} \big|\widehat{f}(\omega)\big|^{2}\,d\omega.
Substituindo \widehat{f}(\omega)=\pi\) para \(|\omega|\le 1\) e \(0\) caso contrário: \[\big|\widehat{f}(\omega)\big|^{2} = \begin{cases} \pi^{2}, & |\omega|\le 1,\\[4pt] 0, & |\omega|>1. \end{cases}
Portanto
\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty} \big|\widehat{f}(\omega)\big|^{2}\,d\omega = \frac{1}{2\pi}\int_{-1}^{1} \pi^{2}\,d\omega = \frac{1}{2\pi}\cdot \pi^{2}\cdot (1-(-1)).
O comprimento do intervalo [-1,1]\] é \(2, logo
\frac{1}{2\pi}\cdot \pi^{2}\cdot 2 = \pi.
Assim concluímos que, assumindo \operatorname{sinc}(t)=\dfrac{\sin t}{t},
\int_{-\infty}^{\infty} \operatorname{sinc}^{2}(t)\,dt = \pi.]

Passo 5

Breve observação final sobre a Convenção B (normalizada): se a definição usada fosse \operatorname{sinc}(t)=\dfrac{\sin(\pi t)}{\pi t}, então faça a mudança de variável u=\pi t. Note que
\left(\frac{\sin(\pi t)}{\pi t}\right)^{2} = \left(\frac{\sin u}{u}\right)^{2},
e dt = du/\pi. Assim
\int_{-\infty}^{\infty} \left(\frac{\sin(\pi t)}{\pi t}\right)^{2} dt = \int_{-\infty}^{\infty} \left(\frac{\sin u}{u}\right)^{2}\frac{du}{\pi} = \frac{1}{\pi}\cdot \pi = 1.
Portanto, com a Convenção B (normalizada), o valor da integral é 1. Isso mostra a relação simples por escala entre as duas convenções.
Força aí — você já viu a técnica principal: reconhecer a transformada (ou a função retângulo) e aplicar Plancherel. Dá para decorar: para \sin t/t a integral do quadrado é \pi; para a versão normalizada \sin(\pi t)/(\pi t) a integral do quadrado é 1.

Resposta

\pi (se \operatorname{sinc}(t)=\dfrac{\sin t}{t}).
1 (se \operatorname{sinc}(t)=\dfrac{\sin(\pi t)}{\pi t}).

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