Exercício 13: Determine o valor das integrais
\quad \int_{-\infty}^{+\infty} \operatorname{sinc}^{3}(t) d t

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral imprópria
\int_{-\infty}^{+\infty} \operatorname{sinc}^{3}(t)\,dt,
onde vamos entender aqui \operatorname{sinc}(t)=\dfrac{\sin t}{t} (definição usual).
Informações relevantes que temos: a função \operatorname{sinc}^{3}(t) é par (pois \operatorname{sinc}(t) é par), e a integral é sobre toda a reta real (de -\infty a +\infty). A integral converge (essa é uma integral conhecida e convergente).

Passo 2

Plano de ataque (breve): eu vou usar a transformada de Fourier e a propriedade de convolução para transformar o produto no domínio do tempo em convoluções no domínio da frequência — isso torna o cálculo do valor da integral (que é a transformada avaliada em zero) bem simples. Antes de aplicar, eu explico rápida e didaticamente as peças que vou usar:
Defino a transformada de Fourier (convenção que usarei):
\mathcal{F}\{f\}(\omega)=\int_{-\infty}^{\infty} f(t)\,e^{-i\omega t}\,dt,
e a transformada inversa
f(t)=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty} \mathcal{F}\{f\}(\omega)\,e^{i\omega t}\,d\omega.
Uma observação útil e simples: o valor da transformada em \omega=0 é exatamente a integral de f:
\mathcal{F}\{f\}(0)=\int_{-\infty}^{\infty} f(t)\,dt.
Outra propriedade que vamos usar (teorema da convolução / produto): se F e G são as transformadas de f e g, então
\mathcal{F}\{f\cdot g\}(\omega)=\frac{1}{2\pi}\,(F*G)(\omega),
onde (F*G)(\omega)=\int_{-\infty}^{\infty}F(\xi)\,G(\omega-\xi)\,d\xi é a convolução. Para o produto de três funções,
\mathcal{F}\{f\cdot g\cdot h\}(\omega)=\frac{1}{(2\pi)^2}\,(F*G*H)(\omega).
Vou aplicar isso com f(t)=g(t)=h(t)=\operatorname{sinc}(t).

Passo 3

Agora preciso da transformada de Fourier de \operatorname{sinc}(t)=\dfrac{\sin t}{t}. Há um par bem conhecido (e fácil de verificar) envolvendo a função indicadora do intervalo (-1,1):
\int_{-1}^{1} e^{-i\omega t}\,dt = 2\,\frac{\sin \omega}{\omega}=2\,\operatorname{sinc}(\omega).
Isso mostra que a transformada de \chi_{(-1,1)}(t) (a função que vale 1 para |t|<1 e 0 caso contrário) é 2\,\operatorname{sinc}(\omega). Pela simetria entre transformada e transformada inversa (e levando em conta os fatores 2\pi da nossa convenção), obtemos o par transformada
\mathcal{F}\{\operatorname{sinc}(t)\}(\omega)=\pi\,\chi_{(-1,1)}(\omega).
Em palavras: a transformada de \dfrac{\sin t}{t} é a função que vale \pi quando |\omega|<1 e vale 0 quando |\omega|>1. Vou chamar essa função de S(\omega), ou seja
S(\omega)=\mathcal{F}\{\operatorname{sinc}\}( \omega)=\begin{cases} \pi, & |\omega|<1,\\[4pt] 0, & |\omega|>1. \end{cases}]

Passo 4

Quero a integral
\int_{-\infty}^{\infty} \operatorname{sinc}^{3}(t)\,dt,
que pelo comentário do Passo 2 é igual a \mathcal{F}\{\operatorname{sinc}^{3}\}(0). Usando o teorema da convolução para o produto de três funções iguais, obtemos
\mathcal{F}\{\operatorname{sinc}^{3}\}(\omega)=\frac{1}{(2\pi)^2}\,\big(S*S*S\big)(\omega).
Portanto, no ponto \omega=0,
\int_{-\infty}^{\infty} \operatorname{sinc}^{3}(t)\,dt=\mathcal{F}\{\operatorname{sinc}^{3}\}(0) =\frac{1}{(2\pi)^2}\,\big(S*S*S\big)(0).
Logo o problema reduz-se a calcular \big(S*S*S\big)(0).

Passo 5

Para simplificar a convolução, normalizo S\) definindo a função indicadora \[A(\omega)=\frac{S(\omega)}{\pi}=\chi_{(-1,1)}(\omega).
Então
S*S*S=\pi^3\,(A*A*A).
Logo basta calcular (A*A*A)(0), onde A=\chi_{(-1,1)}.
Primeiro calcule B=A*A. Para a convolução de duas indicadoras de (-1,1) conhecemos a forma triangular: para |\tau|<2 a sobreposição dos intervalos tem comprimento 2-|\tau|, então
B(\tau)=(A*A)(\tau)=\begin{cases} 2-|\tau|, & |\tau|<2,\\[4pt] 0, & |\tau|\ge 2. \end{cases}
Essa é a função triangular com base em ((-2,2)].]

Passo 6

Agora calcule C=A*A*A=B*A e em particular C(0)=(B*A)(0). Pela definição de convolução,
C(0)=\int_{-\infty}^{\infty} B(\xi)\,A(-\xi)\,d\xi.
Mas A(-\xi)=1 apenas quando |\xi|<1, então a integral reduz-se ao intervalo [-1,1]:
C(0)=\int_{-1}^{1} B(\xi)\,d\xi=\int_{-1}^{1} (2-|\xi|)\,d\xi.
Como a função é par, posso dobrar a integral de 0 a 1:
C(0)=2\int_{0}^{1} (2-\xi)\,d\xi.
Calculo a integral:
\int_{0}^{1} (2-\xi)\,d\xi = \big[2\xi-\tfrac{1}{2}\xi^{2}\big]_{0}^{1}=2-\tfrac{1}{2}=\tfrac{3}{2}.
Portanto
C(0)=2\cdot \tfrac{3}{2}=3.
Logo (A*A*A)(0)=3.

Passo 7

Retomando as relações: (S*S*S)(0)=\pi^{3}\,(A*A*A)(0)=\pi^{3}\cdot 3. Então, usando a fórmula do Passo 4,
\int_{-\infty}^{\infty} \operatorname{sinc}^{3}(t)\,dt =\frac{1}{(2\pi)^2}\,(S*S*S)(0) =\frac{1}{(2\pi)^2}\cdot 3\pi^{3}.
Calculo o fator:
\frac{1}{(2\pi)^2}\cdot 3\pi^{3}=\frac{3\pi^{3}}{4\pi^{2}}=\frac{3\pi}{4}.

Resposta

\dfrac{3\pi}{4}

Exercícios relacionados