Exercício 13: Determine o valor das integrais
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral imprópria
onde vamos entender aqui
(definição usual).
Informações relevantes que temos: a função é par (pois
é par), e a integral é sobre toda a reta real (de
a
). A integral converge (essa é uma integral conhecida e convergente).
Informações relevantes que temos: a função
Passo 2
Plano de ataque (breve): eu vou usar a transformada de Fourier e a propriedade de convolução para transformar o produto no domínio do tempo em convoluções no domínio da frequência — isso torna o cálculo do valor da integral (que é a transformada avaliada em zero) bem simples. Antes de aplicar, eu explico rápida e didaticamente as peças que vou usar:
Defino a transformada de Fourier (convenção que usarei):
e a transformada inversa
Uma observação útil e simples: o valor da transformada em
é exatamente a integral de
:
Outra propriedade que vamos usar (teorema da convolução / produto): se
e
são as transformadas de
e
, então
onde
é a convolução. Para o produto de três funções,
Vou aplicar isso com
.
Passo 3
Agora preciso da transformada de Fourier de
. Há um par bem conhecido (e fácil de verificar) envolvendo a função indicadora do intervalo
:
Isso mostra que a transformada de
(a função que vale
para
e
caso contrário) é
. Pela simetria entre transformada e transformada inversa (e levando em conta os fatores
da nossa convenção), obtemos o par transformada
Em palavras: a transformada de
é a função que vale
quando
e vale
quando
. Vou chamar essa função de
, ou seja
Passo 4
Quero a integral
que pelo comentário do Passo 2 é igual a
. Usando o teorema da convolução para o produto de três funções iguais, obtemos
Portanto, no ponto
,
Logo o problema reduz-se a calcular
.
Passo 5
Para simplificar a convolução, normalizo
Então
Logo basta calcular
, onde
.
Primeiro calcule
. Para a convolução de duas indicadoras de
conhecemos a forma triangular: para
a sobreposição dos intervalos tem comprimento
, então
Essa é a função triangular com base em ((-2,2)].]
Passo 6
Agora calcule
e em particular
. Pela definição de convolução,
Mas
apenas quando
, então a integral reduz-se ao intervalo
:
Como a função é par, posso dobrar a integral de
a
:
Calculo a integral:
Portanto
Logo
.
Passo 7
Retomando as relações:
. Então, usando a fórmula do Passo 4,
Calculo o fator: