Exercício 13:
Um dipolo que carrega cargas
q está alinhado ao longo do eixo
de um sitema de coordenadas retangulares
, com o ponto médio do dipolo na origem.
a) Use a lei de Gauss para calcular o fluxo elétrico através do plano
, que divide o dipolo e é perpendicular ao momento de dipolo. (Dica: calcule o fluxo elétrico para cada carga separadamente e aplique o príncipio da superposição.)
b) Calcule o fluxo através do plano
integrando o campo elétrico na Eq. 23.8 do livro
sobre o plano. Para isto faça a substituição
para descrever o campo elétrico em qualquer ponto do plano
.
c) Qual das duas técnicas permite obter o fluxo através do plano
mais facilmente?
a) Use a lei de Gauss para calcular o fluxo elétrico através do plano
b) Calcule o fluxo através do plano
c) Qual das duas técnicas permite obter o fluxo através do plano
Passo 1
O enunciado descreve um dipolo elétrico formado por cargas
e
separadas por uma distância
ao longo do eixo
, com o ponto médio na origem. Queremos o fluxo do campo elétrico através do plano
(isto é, o plano
), que é perpendicular ao momento de dipolo.
Conteúdo: lei de Gauss e cálculo de fluxo por integração direta do campo de dipolo.
Conteúdo: lei de Gauss e cálculo de fluxo por integração direta do campo de dipolo.
Passo 2
Para usar a lei de Gauss em um plano infinito e aberta, notamos que um ponto‐carga
emite um fluxo total
por toda a esfera, e qualquer plano infinito visto do ponto subtende sempre um ângulo sólido de
, metade de
. Logo, o fluxo de uma carga
através de um plano infinito é
Aqui tomamos o vetor normal ao plano apontando no sentido positivo de
.
Passo 3
Aplicando isso a cada carga e levando em conta o sinal:
– Da carga o campo atravessa o plano no sentido negativo de
, gerando
– Da carga
– Da carga
o campo também atravessa o plano no sentido negativo de
, pois as linhas vão de fora em direção a
, gerando
Somando as duas contribuições, o fluxo total é
Passo 4
Agora fazemos a integração direta usando o campo de dipolo dado (com
)
onde substituímos
. O fluxo é
com
, onde
.
Passo 5
Em coordenadas polares
no plano
,
Fazendo
,
, obtemos
Logo
Passo 6
Comparando as duas técnicas, vemos que ambas dão
A aplicação da lei de Gauss ao plano, usando o princípio da superposição e o fato de que um plano infinito subtende
de ângulo sólido, foi muito mais direta do que a integração explícita do campo de dipolo.
Resposta
a)
.
b) .
c) A técnica da lei de Gauss é mais fácil do que a integração direta.
b)
c) A técnica da lei de Gauss é mais fácil do que a integração direta.