Exercício 13. Esboce as seguintes regiões do plano cartesiano:
\left{(x, y) \in \mathbb{R}^{2}: x^{2}+4 y^{2} \leq 4\right}

Passo 1

O enunciado pede para esboçar a região do plano definida por \{(x,y)\in\mathbb{R}^2 : x^{2}+4y^{2}\leq 4\}.
Informações dadas:
  • Uma desigualdade envolvendo x e y: x^{2}+4y^{2}\leq 4.
  • Não há outras restrições: todos os pares (x,y) que satisfazem essa desigualdade pertencem à região.
    O que é pedido explicitamente: desenhar (esboçar) a região do plano que satisfaz essa condição.

Passo 2

Reescrevendo a desigualdade numa forma padrão (dividindo por 4) para reconhecer a curva:
\frac{x^{2}}{4}+ \frac{4y^{2}}{4}\leq \frac{4}{4}
ou seja
\frac{x^{2}}{4}+\frac{y^{2}}{1}\leq 1.
Explicação didática: dividir ambos os lados por um mesmo número positivo (aqui 4) mantém a desigualdade. A ideia é obter uma soma de termos quadráticos cada um dividido por uma constante, que é a forma habitual das elipses.

Passo 3

Interpretando a expressão obtida: a desigualdade
\frac{x^{2}}{4}+\frac{y^{2}}{1}\leq 1
é a forma padrão de uma elipse centrada na origem com semieixos paralelos aos eixos coordenados. Nesta forma:
  • O termo \dfrac{x^{2}}{a^{2}} tem a^{2}=4, portanto a=\sqrt{4}=2.
  • O termo \dfrac{y^{2}}{b^{2}} tem b^{2}=1, portanto b=\sqrt{1}=1.
    Aqui a é o semi-eixo no sentido do eixo x e b é o semi-eixo no sentido do eixo y.

Passo 4

Calcular os interceptos com os eixos (pontos onde a elipse cruza os eixos), que ajudam bastante no esboço:
  • Para interceptos no eixo x: colocar y=0 em x^{2}+4y^{2}\leq4 x^{2}\leq4, logo x\in[-2,2]. Na fronteira (igualdade) temos os pontos (2,0) e (-2,0).
  • Para interceptos no eixo y: colocar x=0 4y^{2}\leq4, logo y^{2}\leq1, assim y\in[-1,1]. Na fronteira temos os pontos (0,1) e (0,-1).
Esses quatro pontos são os extremos da elipse sobre os eixos coordenados.

Passo 5

Verificações e interpretação da desigualdade \leq:
  • A desigualdade é não estrita ( \leq), portanto a fronteira (a curva onde há igualdade) faz parte da região.
  • O conjunto dos pontos que satisfazem \frac{x^{2}}{4}+\frac{y^{2}}{1}<1 é o interior da elipse; somando o caso de igualdade obtém-se a elipse preenchida (região fechada e limitada).

Passo 6

Uma forma útil de entender geometricamente como a elipse surge é usar uma transformação linear simples. Defina
u=\frac{x}{2},\qquad v=y.
Substituindo na desigualdade original:
x^{2}+4y^{2}\leq 4 \quad\Longleftrightarrow\quad (2u)^{2}+4v^{2}\leq4
\Longleftrightarrow\quad 4u^{2}+4v^{2}\leq4
\Longleftrightarrow\quad u^{2}+v^{2}\leq1.
Isso mostra que, ao comprimir o eixo x por um fator 2 (ou, visto ao contrário, esticar o eixo x do círculo unitário por 2), a elipse é a imagem do disco unitário \{(u,v): u^{2}+v^{2}\leq1\}. Essa observação ajuda a esboçar: primeiro imagine um círculo de raio 1 no sistema (u,v), depois recupere (x,y) usando x=2u, y=v, o que alonga o círculo na direção x por fator 2, formando a elipse.

Passo 7

Parâmetro útil da fronteira (para desenhar pontos intermediários): uma parametrização da elipse é
x=2\cos t,\qquad y=\sin t,\qquad t\in[0,2\pi].
Explicação: substituir essas expressões em \frac{x^{2}}{4}+\frac{y^{2}}{1} \cos^{2}t+\sin^{2}t=1, então a parametrização percorre toda a fronteira da elipse. Para o esboço, basta plotar alguns valores de t (por exemplo t=0,\\ \tfrac{\pi}{2},\\ \pi,\\ \tfrac{3\pi}{2} que dão os pontos extremos já encontrados) e mais alguns pontos intermediários para controlar a curvatura.

Passo 8

Como esboçar na prática (passo a passo prático para fazer à mão na prova):
  1. Marque o ponto (0,0) (centro).
  2. Marque os extremos nos eixos: (2,0), (-2,0), (0,1), (0,-1).
  3. Desenhe uma curva suave passando por esses quatro pontos, com formato oval mais larga no sentido do eixo x. Use a simetria em relação aos eixos x e y: basta desenhar o arco no primeiro quadrante e refletir.
  4. Preencha a região interior do contorno (porque a desigualdade é \leq), e trace a fronteira de forma contínua (ela pertence à região).
    Dica amiga: pense no contorno como um círculo achatado verticalmente — isso ajuda a não fazer uma forma muito “pontiaguda”.

Passo 9

Resumo dos elementos importantes para o esboço:
  • Centro: (0,0).
  • Semieixo horizontal: a=2 (extremos (-2,0) e (2,0)).
  • Semieixo vertical: b=1 (extremos (0,-1) e (0,1)).
  • Região: elipse inteira (interior) incluindo a fronteira.

Resposta

A região é a elipse preenchida centrada em (0,0) dada pela equação \dfrac{x^{2}}{4}+\dfrac{y^{2}}{1}\leq 1, com semieixos a=2 (eixo x) e b=1 (eixo y), interceptos em (\pm2,0) e (0,\pm1).

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