Exercício 13. Esboce as seguintes regiões do plano cartesiano:
\left{(x, y) \in \mathbb{R}^{2}: x^{2}+4 y^{2} \leq 4\right}
\left{(x, y) \in \mathbb{R}^{2}: x^{2}+4 y^{2} \leq 4\right}
Passo 1
O enunciado pede para esboçar a região do plano definida por
.
Informações dadas:
Informações dadas:
- Uma desigualdade envolvendo
e : . - Não há outras restrições: todos os pares
que satisfazem essa desigualdade pertencem à região.
O que é pedido explicitamente: desenhar (esboçar) a região do plano que satisfaz essa condição.
Passo 2
Reescrevendo a desigualdade numa forma padrão (dividindo por
) para reconhecer a curva:
ou seja
Explicação didática: dividir ambos os lados por um mesmo número positivo (aqui
) mantém a desigualdade. A ideia é obter uma soma de termos quadráticos cada um dividido por uma constante, que é a forma habitual das elipses.
Passo 3
Interpretando a expressão obtida: a desigualdade
é a forma padrão de uma elipse centrada na origem com semieixos paralelos aos eixos coordenados. Nesta forma:
- O termo
tem , portanto . - O termo
tem , portanto .
Aquié o semi-eixo no sentido do eixo e é o semi-eixo no sentido do eixo .
Passo 4
Calcular os interceptos com os eixos (pontos onde a elipse cruza os eixos), que ajudam bastante no esboço:
- Para interceptos no eixo
: colocar em dá , logo . Na fronteira (igualdade) temos os pontos e . - Para interceptos no eixo
: colocar dá , logo , assim . Na fronteira temos os pontos e .
Esses quatro pontos são os extremos da elipse sobre os eixos coordenados.
Passo 5
Verificações e interpretação da desigualdade
:
- A desigualdade é não estrita (
), portanto a fronteira (a curva onde há igualdade) faz parte da região. - O conjunto dos pontos que satisfazem
é o interior da elipse; somando o caso de igualdade obtém-se a elipse preenchida (região fechada e limitada).
Passo 6
Uma forma útil de entender geometricamente como a elipse surge é usar uma transformação linear simples. Defina
Substituindo na desigualdade original:
Isso mostra que, ao comprimir o eixo
por um fator
(ou, visto ao contrário, esticar o eixo
do círculo unitário por
), a elipse é a imagem do disco unitário
. Essa observação ajuda a esboçar: primeiro imagine um círculo de raio
no sistema
, depois recupere
usando
,
, o que alonga o círculo na direção
por fator
, formando a elipse.
Passo 7
Parâmetro útil da fronteira (para desenhar pontos intermediários): uma parametrização da elipse é
Explicação: substituir essas expressões em
dá
, então a parametrização percorre toda a fronteira da elipse. Para o esboço, basta plotar alguns valores de
(por exemplo
que dão os pontos extremos já encontrados) e mais alguns pontos intermediários para controlar a curvatura.
Passo 8
Como esboçar na prática (passo a passo prático para fazer à mão na prova):
- Marque o ponto
(centro). - Marque os extremos nos eixos:
, , , . - Desenhe uma curva suave passando por esses quatro pontos, com formato oval mais larga no sentido do eixo
. Use a simetria em relação aos eixos e : basta desenhar o arco no primeiro quadrante e refletir. - Preencha a região interior do contorno (porque a desigualdade é
), e trace a fronteira de forma contínua (ela pertence à região).
Dica amiga: pense no contorno como um círculo achatado verticalmente — isso ajuda a não fazer uma forma muito “pontiaguda”.
Passo 9
Resumo dos elementos importantes para o esboço:
- Centro:
. - Semieixo horizontal:
(extremos e ). - Semieixo vertical:
(extremos e ). - Região: elipse inteira (interior) incluindo a fronteira.
Resposta
A região é a elipse preenchida centrada em
dada pela equação
, com semieixos
(eixo
) e
(eixo
), interceptos em
e
.