Exercício 13. Esboce as seguintes regiões do plano cartesiano:
\left{(x, y) \in \mathbb{R}{2}:\left(x{2}+y{2}-1\right)\left(4-x{2}-y^{2}\right) \leq 0\right}

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede. O enunciado pede que se esboce a região do plano
\{(x,y)\in\mathbb{R}^2:\,(x^2+y^2-1)(4-x^2-y^2)\le 0\}.
Informações relevantes fornecidas:
  • A expressão que determina a região é (x^2+y^2-1)(4-x^2-y^2)\le 0.
  • Não há outras restrições além de x,y\in\mathbb{R}.
    O objetivo é descrever geometricamente e esboçar (ou imaginar o esboço de) essa região no plano cartesiano.

Passo 2

Para simplificar a expressão, introduzo a variável
t = x^2+y^2.
Observação: t é sempre não-negativo porque é uma soma de quadrados, então t\ge 0. Substituindo na desigualdade obtemos uma desigualdade em uma variável:
(t-1)(4-t)\le 0.
Agora vou resolver essa desigualdade em t. Técnica usada (muito útil em provas): achar as raízes (zeros) do produto, dividir a reta real em intervalos por essas raízes e testar o sinal em cada intervalo.

Passo 3

Encontre as raízes de (t-1)(4-t):
t-1=0\Rightarrow t=1,\qquad 4-t=0\Rightarrow t=4.
As raízes são t=1 e t=4. Essas duas posições dividem a reta em três intervalos: (-\infty,1), (1,4) e (4,\infty). Como queremos (t-1)(4-t)\le 0, devemos identificar onde o produto é negativo ou zero.

Passo 4

Faço a análise de sinais (explicando passo a passo):
  • Em t=1 ou t=4 o produto vale 0, e a desigualdade permite igualdade, então t=1 e t=4 pertencem à solução.
  • Teste em t=0 (que é permitido, já que t\ge 0): (0-1)(4-0)=(-1)\cdot 4=-4<0. Logo o produto é negativo em pontos com t<1.
  • Teste em t=2: (2-1)(4-2)=1\cdot 2=2>0. Portanto o produto é positivo no intervalo (1,4) — esses t não satisfazem a desigualdade.
  • Teste em t=5: (5-1)(4-5)=4\cdot(-1)=-4<0. Logo o produto é negativo para t>4.
Combinando tudo (e lembrando t\ge 0), a solução em termos de t é
t\in[0,1]\cup[4,\infty).

Passo 5

Volto à variável geométrica original: t=x^2+y^2. Assim a condição equivalente é
x^2+y^2\in[0,1]\cup[4,\infty).
Interpretação geométrica:
  • x^2+y^2\le 1 corresponde ao disco fechado centrado na origem de raio 1 (inclui a circunferência de raio 1).
  • x^2+y^2\ge 4 corresponde ao exterior (com a fronteira) da circunferência de raio 2 centrada na origem (isto é, todos os pontos cuja distância à origem é maior ou igual a 2).
Portanto a região pedida é a união desses dois conjuntos: o disco fechado de raio 1 e a região externa ao círculo de raio 2, incluindo as duas fronteiras ( r=1 e r=2).

Passo 6

Como dica para o esboço no papel:
  • Desenhe os eixos x e y.
  • Trace a circunferência de raio 1 e pinte (ou sombree) o interior até o centro (disco fechado).
  • Trace a circunferência de raio 2 e sombreie a região fora dela (inclusive a circunferência).
  • Deixe em branco a coroa circular (annulus) entre as circunferências de raio 1 e 2 (isto é, os pontos com 1<\sqrt{x^2+y^2}<2), pois esses pontos NÃO satisfazem a desigualdade.
Pequena verificação de pontos (para ganhar confiança):
  • Origem (0,0): x^2+y^2=0\Rightarrow pertence (está no disco de raio 1).
  • Ponto (2,0): x^2+y^2=4\Rightarrow pertence (fronteira externa).
  • Ponto (1{,}5,0): x^2+y^2=2{,}25 entre 1 e 4\Rightarrow não pertence.

Resposta

O conjunto é a união do disco fechado de raio 1 centrado na origem e da região exterior (fechada) ao círculo de raio 2 centrado na origem; ou seja,
\{(x,y):x^2+y^2\le 1\}\\ \cup\\ \{(x,y):x^2+y^2\ge 4\}.

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