Exercício 13. Esboce as seguintes regiões do plano cartesiano:
\left{(x, y) \in \mathbb{R}{2}:\left(x{2}+y{2}-1\right)\left(4-x{2}-y^{2}\right) \leq 0\right}
\left{(x, y) \in \mathbb{R}{2}:\left(x{2}+y{2}-1\right)\left(4-x{2}-y^{2}\right) \leq 0\right}
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede. O enunciado pede que se esboce a região do plano
Informações relevantes fornecidas:
- A expressão que determina a região é
. - Não há outras restrições além de
.
O objetivo é descrever geometricamente e esboçar (ou imaginar o esboço de) essa região no plano cartesiano.
Passo 2
Para simplificar a expressão, introduzo a variável
Observação:
é sempre não-negativo porque é uma soma de quadrados, então
. Substituindo na desigualdade obtemos uma desigualdade em uma variável:
Agora vou resolver essa desigualdade em
. Técnica usada (muito útil em provas): achar as raízes (zeros) do produto, dividir a reta real em intervalos por essas raízes e testar o sinal em cada intervalo.
Passo 3
Encontre as raízes de
:
As raízes são
e
. Essas duas posições dividem a reta em três intervalos:
,
e
. Como queremos
, devemos identificar onde o produto é negativo ou zero.
Passo 4
Faço a análise de sinais (explicando passo a passo):
- Em
ou o produto vale , e a desigualdade permite igualdade, então e pertencem à solução. - Teste em
(que é permitido, já que ): . Logo o produto é negativo em pontos com . - Teste em
: . Portanto o produto é positivo no intervalo — esses não satisfazem a desigualdade. - Teste em
: . Logo o produto é negativo para .
Combinando tudo (e lembrando
), a solução em termos de
é
Passo 5
Volto à variável geométrica original:
. Assim a condição equivalente é
Interpretação geométrica:
-
corresponde ao disco fechado centrado na origem de raio (inclui a circunferência de raio ). -
corresponde ao exterior (com a fronteira) da circunferência de raio centrada na origem (isto é, todos os pontos cuja distância à origem é maior ou igual a ).
Portanto a região pedida é a união desses dois conjuntos: o disco fechado de raio
e a região externa ao círculo de raio
, incluindo as duas fronteiras (
e
).
Passo 6
Como dica para o esboço no papel:
- Desenhe os eixos
e . - Trace a circunferência de raio
e pinte (ou sombree) o interior até o centro (disco fechado). - Trace a circunferência de raio
e sombreie a região fora dela (inclusive a circunferência). - Deixe em branco a coroa circular (annulus) entre as circunferências de raio
e (isto é, os pontos com ), pois esses pontos NÃO satisfazem a desigualdade.
Pequena verificação de pontos (para ganhar confiança):
- Origem
: pertence (está no disco de raio ). - Ponto
: pertence (fronteira externa). - Ponto
: entre e não pertence.
Resposta
O conjunto é a união do disco fechado de raio
centrado na origem e da região exterior (fechada) ao círculo de raio
centrado na origem; ou seja,