Exercício 14. Esboce as curvas traçadas pelas seguintes funções vetoriais - indicando o sentido de percurso - e determine suas equações cartesianas:
\vec{r}(t)=\left(1-t^{2}\right) \hat{\imath}+(t-2) \hat{\jmath},-2 \leq t \leq 2

Passo 1

O enunciado dá a função vetorial
\vec{r}(t)=\bigl(1-t^{2}\bigr)\,\hat{\imath}+(t-2)\,\hat{\jmath},\qquad -2\le t\le 2.
O que se pede:
  • Esboçar a curva descrita por \vec{r}(t), indicando o sentido de percurso (ou seja, para que lado a partícula se move quando t aumenta).
  • Determinar a equação cartesiana da curva (eliminar o parâmetro t para obter uma relação entre x e y).
Informações relevantes dadas:
  • As componentes são x(t)=1-t^{2} e y(t)=t-2.
  • O parâmetro t varia no intervalo [-2,2].

Passo 2

Vamos escrever explicitamente as componentes e lembrar como eliminar parâmetro. As componentes são
x(t)=1-t^{2}, \qquad y(t)=t-2.
Para eliminar t resolvemos uma das equações para t (ou para uma função de t) e substituímos na outra. Aqui a segunda equação é simples para isolar t:
y=t-2 \quad\Rightarrow\quad t=y+2.
Explicando: isso é válido porque para cada ponto da curva o valor de y corresponde a um único t pelo intervalo dado (a função t\mapsto t-2 é bijetora quando restrita a um intervalo real), então podemos substituir t em x(t).

Passo 3

Substituindo t=y+2 em x(t):
x=1-t^{2}=1-(y+2)^{2}.
Esta é a equação cartesiana da curva. Reescrevendo de forma canônica,
x=1-(y+2)^{2} \qquad\text{ou}\qquad (y+2)^{2}=1-x.
Interpretação geométrica desta equação:
  • É uma parábola com a variável independente sendo y e a dependente x (ou seja, a parábola tem eixo horizontal).
  • O vértice ocorre quando o quadrado é zero, isto é em y=-2. Substituindo y=-2 obtemos x=1. Logo o vértice é (1,-2).
  • O coeficiente de (y+2)^{2} é negativo (pois x=1-(y+2)^{2}), portanto a parábola abre para a esquerda (valores menores de x conforme |y+2| cresce).
  • A reta de simetria (eixo da parábola) é a linha horizontal y=-2.

Passo 4

Agora restringimos a curva ao intervalo de t. Como y=t-2 e t\in[-2,2], temos
y\in[-4,0].
Substituindo os extremos para obter os pontos finais:
  • Para t=-2: x=1-(-2)^{2}=1-4=-3, y=-2-2=-4. Ponto inicial: (-3,-4).
  • Para t=2: x=1-(2)^{2}=1-4=-3, y=2-2=0. Ponto final: (-3,0).
    Além disso, para pontos intermediários:
  • t=0 x=1, y=-2 (vértice).
  • t=\pm1 dão (0,-3) e (0,-1) respectivamente.
    Portanto a curva desenhada no plano é o trecho da parábola x=1-(y+2)^{2} com y variando de -4 até 0; em x isso corresponde ao intervalo [-3,1].

Passo 5

Para indicar o sentido de percurso examinamos a variação quando t aumenta. Podemos usar a derivada vetorial
\vec{r}\,'(t)=\frac{d}{dt}\bigl(1-t^{2}\bigr)\,\hat{\imath}+\frac{d}{dt}(t-2)\,\hat{\jmath} = (-2t)\,\hat{\imath}+1\,\hat{\jmath}.
Isto dá a direção tangente à curva para cada t. Avaliando em pontos-chave:
  • Em t=-2: \vec{r}\,'(-2)=(4,1) aponta para a direita e para cima, então o movimento inicial sai de (-3,-4) dirigindo-se para cima e para a direita.
  • Em t=0: \vec{r}\,'(0)=(0,1) aponta para cima (passagem pelo vértice indo para cima).
  • Em t=2: \vec{r}\,'(2)=(-4,1) aponta para a esquerda e para cima ao chegar em (-3,0).
    Combinando isso com os pontos calculados, o sentido de percurso quando t aumenta é: começa em (-3,-4) quando t=-2, sobe e desloca-se para a direita até o vértice (1,-2) quando t=0, e depois vira para a esquerda subindo até (-3,0) quando t=2. Em resumo: percorre-se o segmento da parábola de baixo para cima passando pelo vértice, no sentido de t crescente.

Passo 6

Dicas práticas para esboçar na prova (como desenhar passo a passo):
  1. Marque os pontos (-3,-4), (0,-3), (1,-2), (0,-1), (-3,0).
  2. Desenhe a parábola com vértice em (1,-2) e eixo horizontal y=-2, abrindo para a esquerda.
  3. Trace apenas o trecho com y\in[-4,0] (entre (-3,-4) e (-3,0)).
  4. Coloque setas indicando o sentido do percurso: seta partindo de (-3,-4), passando por (1,-2), terminando em (-3,0).

Resposta

x=1-(y+2)^{2},\qquad y\in[-4,0]\n
O trecho da parábola tem vértice em (1,-2), abre para a esquerda, começa em (-3,-4) para t=-2 e termina em (-3,0) para t=2; o sentido de percurso é para t crescente (de (-3,-4) via (1,-2) até (-3,0)).

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