Exercício 14. Esboce as curvas traçadas pelas seguintes funções vetoriais - indicando o sentido de percurso - e determine suas equações cartesianas:
Passo 1
O enunciado dá a função vetorial
O que se pede:
- Esboçar a curva descrita por
, indicando o sentido de percurso (ou seja, para que lado a partícula se move quando aumenta). - Determinar a equação cartesiana da curva (eliminar o parâmetro
para obter uma relação entre e ).
Informações relevantes dadas:
- As componentes são
e . - O parâmetro
varia no intervalo .
Passo 2
Vamos escrever explicitamente as componentes e lembrar como eliminar parâmetro. As componentes são
Para eliminar
resolvemos uma das equações para
(ou para uma função de
) e substituímos na outra. Aqui a segunda equação é simples para isolar
:
Explicando: isso é válido porque para cada ponto da curva o valor de
corresponde a um único
pelo intervalo dado (a função
é bijetora quando restrita a um intervalo real), então podemos substituir
em
.
Passo 3
Substituindo
em
:
Esta é a equação cartesiana da curva. Reescrevendo de forma canônica,
Interpretação geométrica desta equação:
- É uma parábola com a variável independente sendo
e a dependente (ou seja, a parábola tem eixo horizontal). - O vértice ocorre quando o quadrado é zero, isto é em
. Substituindo obtemos . Logo o vértice é . - O coeficiente de
é negativo (pois ), portanto a parábola abre para a esquerda (valores menores de conforme cresce). - A reta de simetria (eixo da parábola) é a linha horizontal
.
Passo 4
Agora restringimos a curva ao intervalo de
. Como
e
, temos
Substituindo os extremos para obter os pontos finais:
- Para
: , . Ponto inicial: . - Para
: , . Ponto final: .
Além disso, para pontos intermediários: -
dá , (vértice). -
dão e respectivamente.
Portanto a curva desenhada no plano é o trecho da parábolacom variando de até ; em isso corresponde ao intervalo .
Passo 5
Para indicar o sentido de percurso examinamos a variação quando
aumenta. Podemos usar a derivada vetorial
Isto dá a direção tangente à curva para cada
. Avaliando em pontos-chave:
- Em
: aponta para a direita e para cima, então o movimento inicial sai de dirigindo-se para cima e para a direita. - Em
: aponta para cima (passagem pelo vértice indo para cima). - Em
: aponta para a esquerda e para cima ao chegar em .
Combinando isso com os pontos calculados, o sentido de percurso quandoaumenta é: começa em quando , sobe e desloca-se para a direita até o vértice quando , e depois vira para a esquerda subindo até quando . Em resumo: percorre-se o segmento da parábola de baixo para cima passando pelo vértice, no sentido de crescente.
Passo 6
Dicas práticas para esboçar na prova (como desenhar passo a passo):
- Marque os pontos
, , , , . - Desenhe a parábola com vértice em
e eixo horizontal , abrindo para a esquerda. - Trace apenas o trecho com
(entre e ). - Coloque setas indicando o sentido do percurso: seta partindo de
, passando por , terminando em .
Resposta
O trecho da parábola tem vértice em