Exercício 12. Usando a definição de derivada, calcule
se
.
Passo 1
O enunciado pede para calcular
para a função
dada por
usando a definição de derivada. Informações relevantes que temos:
Passo 2
Escrevemos a definição de derivada no ponto
. Usando o incremento
(que representa uma variação em
),
Aqui
é uma variável que tende a zero; o quociente
é chamado de quociente incremental e mede a taxa média de variação de
em torno de
.
Passo 3
Calcule
e escreva o quociente incremental específico para nossa função. Temos
portanto
Se tentarmos substituir
diretamente no quociente, obtemos
, que é uma forma indeterminada. Para avaliar o limite precisamos manipular algebricamente a expressão para eliminar essa indeterminação.
Passo 4
Uma técnica comum para limites com raízes é racionalizar o numerador: multiplicar numerador e denominador pelo conjugado do numerador. O conjugado de
é
. Multiplicando por
na forma
obtemos
No numerador usamos a identidade
com
e
.
Passo 5
Aplicando a identidade, o numerador vira
Assim a expressão inteira simplifica para
Como estamos interessados no limite quando
, podemos cancelar
(válido para
, e o limite considera valores de
próximos de zero, mas não exatamente zero):
Passo 6
Agora que a expressão está simplificada, podemos calcular o limite facilmente por substituição contínua, já que o denominador não se anula quando
:
Explicando rapido: como a função
é contínua perto de
e seu valor em
é
, a substituição direta no limite é válida.
Passo 7
Conclusão e comentário adicional para fixar o conceito:
. Em geral, se tivéssemos
com
, o mesmo procedimento mostra que
e em particular
. Isso ajuda a ver que o resultado
aqui corresponde a
, dando
.