Exercício 12. Usando a definição de derivada, calcule f^{\prime}(0) se f(x)=\sqrt{4+x}.

Passo 1

O enunciado pede para calcular f^{\prime}(0) para a função f dada por
f(x)=\sqrt{4+x},
usando a definição de derivada. Informações relevantes que temos:
\text{Função: } f(x)=\sqrt{4+x}.çã
\text{Ponto onde queremos a derivada: } x=0.
\text{Método exigido: usar a definição de derivada (limite do quociente incremental).}éçã

Passo 2

Escrevemos a definição de derivada no ponto 0. Usando o incremento h (que representa uma variação em x),
f^{\prime}(0)=\lim_{h\to 0}\frac{f(0+h)-f(0)}{h}.
Aqui h é uma variável que tende a zero; o quociente \frac{f(0+h)-f(0)}{h} é chamado de quociente incremental e mede a taxa média de variação de f em torno de 0.

Passo 3

Calcule f(0) e escreva o quociente incremental específico para nossa função. Temos
f(0)=\sqrt{4+0}=\sqrt{4}=2,
portanto
\frac{f(0+h)-f(0)}{h}=\frac{\sqrt{4+h}-2}{h}.
Se tentarmos substituir h=0 diretamente no quociente, obtemos \frac{0}{0}, que é uma forma indeterminada. Para avaliar o limite precisamos manipular algebricamente a expressão para eliminar essa indeterminação.

Passo 4

Uma técnica comum para limites com raízes é racionalizar o numerador: multiplicar numerador e denominador pelo conjugado do numerador. O conjugado de \sqrt{4+h}-2 é \sqrt{4+h}+2. Multiplicando por 1 na forma \frac{\sqrt{4+h}+2}{\sqrt{4+h}+2} obtemos
\frac{\sqrt{4+h}-2}{h}\cdot\frac{\sqrt{4+h}+2}{\sqrt{4+h}+2} = \frac{(\sqrt{4+h}-2)(\sqrt{4+h}+2)}{h(\sqrt{4+h}+2)}.
No numerador usamos a identidade (a-b)(a+b)=a^2-b^2 com a=\sqrt{4+h} e b=2.

Passo 5

Aplicando a identidade, o numerador vira
(\sqrt{4+h})^2 - 2^2 = (4+h)-4 = h.
Assim a expressão inteira simplifica para
\frac{h}{h(\sqrt{4+h}+2)}.
Como estamos interessados no limite quando h\to 0, podemos cancelar h (válido para h\neq 0, e o limite considera valores de h próximos de zero, mas não exatamente zero):
\frac{h}{h(\sqrt{4+h}+2)} = \frac{1}{\sqrt{4+h}+2}\quad\text{para }h\neq 0.

Passo 6

Agora que a expressão está simplificada, podemos calcular o limite facilmente por substituição contínua, já que o denominador não se anula quando h\to 0:
f^{\prime}(0)=\lim_{h\to 0}\frac{1}{\sqrt{4+h}+2}=\frac{1}{\sqrt{4+0}+2}=\frac{1}{2+2}=\frac{1}{4}.
Explicando rapido: como a função h\mapsto \sqrt{4+h}+2 é contínua perto de h=0 e seu valor em 0 é 4\neq 0, a substituição direta no limite é válida.

Passo 7

Conclusão e comentário adicional para fixar o conceito: f^{\prime}(0)=\tfrac{1}{4}. Em geral, se tivéssemos g(x)=\sqrt{a+x} com a>0, o mesmo procedimento mostra que
g^{\prime}(x)=\frac{1}{2\sqrt{a+x}},
e em particular g^{\prime}(0)=\frac{1}{2\sqrt{a}}. Isso ajuda a ver que o resultado \tfrac{1}{4} aqui corresponde a a=4, dando \frac{1}{2\sqrt{4}}=\frac{1}{4}.

Resposta

\displaystyle f^{\prime}(0)=\frac{1}{4}

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