Exercício 11. Usando a definição de derivada, calcule f^{\prime}(0) dado que f(x)=\frac{x+1}{x-2}.

Passo 1

O enunciado fornece a função \displaystyle f(x)=\frac{x+1}{x-2} e pede o valor da derivada de f em x=0, ou seja, \displaystyle f^{\prime}(0).
Informações relevantes dadas: a expressão de f(x) e o ponto onde queremos a derivada ( x=0).
Observação útil: a função tem denominador x-2, logo não está definida em \displaystyle x=2 (isso não afeta x=0, só é bom lembrar).

Passo 2

Vamos usar a definição de derivada (o enunciado pediu isso). A definição em um ponto a é:
f'(a)=\lim_{h\to 0}\frac{f(a+h)-f(a)}{h}.
O que essa fórmula significa, em palavras: pegamos o quociente das diferenças entre os valores da função em a+h e em a, dividido por h; conforme h vai para zero, esse quociente tende à inclinação da reta tangente à curva em x=a. Aqui vamos aplicar com a=0, então
f'(0)=\lim_{h\to 0}\frac{f(h)-f(0)}{h}.

Passo 3

Calculemos f(0) e f(h) explicitamente para poder montar o quociente de diferença.
Calcular f(0):
f(0)=\frac{0+1}{0-2}=\frac{1}{-2}=-\frac{1}{2}.
Expressar f(h):
f(h)=\frac{h+1}{h-2}.

Passo 4

Agora montamos o quociente de diferença e o simplificamos passo a passo:
\frac{f(h)-f(0)}{h}=\frac{\dfrac{h+1}{h-2}-\left(-\dfrac{1}{2}\right)}{h} =\frac{\dfrac{h+1}{h-2}+\dfrac{1}{2}}{h}.
Para somar as frações no numerador, colocamos um denominador comum \displaystyle 2(h-2):
\dfrac{h+1}{h-2}+\dfrac{1}{2}=\dfrac{2(h+1)+(h-2)}{2(h-2)}.
Simplificando o numerador:
2(h+1)+(h-2)=2h+2+h-2=3h.
Portanto
\dfrac{h+1}{h-2}+\dfrac{1}{2}=\dfrac{3h}{2(h-2)}.
Voltando ao quociente de diferença:
\frac{f(h)-f(0)}{h}=\frac{\dfrac{3h}{2(h-2)}}{h}=\dfrac{3h}{2(h-2)}\cdot\dfrac{1}{h}.

Passo 5

Cancelamos o fator h (desde que h\neq 0, e para o limite h\to 0 esta simplificação é legítima porque estamos trabalhando com a expressão para h perto de zero mas não nulo):
\frac{f(h)-f(0)}{h}=\dfrac{3}{2(h-2)}.
Agora tomamos o limite quando h\to 0. A expressão à direita é contínua em h=0 (o denominador em h=0 vale 2(0-2)=-4, não é zero), então podemos substituir h=0 diretamente:
f'(0)=\lim_{h\to 0}\dfrac{3}{2(h-2)}=\dfrac{3}{2(0-2)}=\dfrac{3}{-4}=-\dfrac{3}{4}.
Interpretação rápida: a reta tangente em x=0 tem inclinação -\dfrac{3}{4}.

Passo 6

Verificação rápida (opcional, só para conferir): aplicar a regra do quociente lembrando-a como
\left(\frac{u}{v}\right)'=\frac{u'v-uv'}{v^{2}},
onde u(x)=x+1 e v(x)=x-2. Aqui u'(x)=1 e v'(x)=1. Então
f'(x)=\frac{1\cdot(x-2)-(x+1)\cdot 1}{(x-2)^{2}}=\frac{x-2-x-1}{(x-2)^{2}}=\frac{-3}{(x-2)^{2}}.
Avaliar em x=0
f'(0)=\frac{-3}{(0-2)^{2}}=\frac{-3}{4}=-\dfrac{3}{4},
confirmando o resultado obtido pela definição.

Resposta

-\dfrac{3}{4}

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