Exercício 11. Usando a definição de derivada, calcule
dado que
.
Passo 1
O enunciado fornece a função
e pede o valor da derivada de
em
, ou seja,
.
Informações relevantes dadas: a expressão de e o ponto onde queremos a derivada (
).
Observação útil: a função tem denominador , logo não está definida em
(isso não afeta
, só é bom lembrar).
Informações relevantes dadas: a expressão de
Observação útil: a função tem denominador
Passo 2
Vamos usar a definição de derivada (o enunciado pediu isso). A definição em um ponto
é:
O que essa fórmula significa, em palavras: pegamos o quociente das diferenças entre os valores da função em
e em
, dividido por
; conforme
vai para zero, esse quociente tende à inclinação da reta tangente à curva em
. Aqui vamos aplicar com
, então
Passo 3
Calculemos
e
explicitamente para poder montar o quociente de diferença.
Calcular
:
Expressar
:
Passo 4
Agora montamos o quociente de diferença e o simplificamos passo a passo:
Para somar as frações no numerador, colocamos um denominador comum
:
Simplificando o numerador:
Portanto
Voltando ao quociente de diferença:
Passo 5
Cancelamos o fator
(desde que
, e para o limite
esta simplificação é legítima porque estamos trabalhando com a expressão para
perto de zero mas não nulo):
Agora tomamos o limite quando
. A expressão à direita é contínua em
(o denominador em
vale
, não é zero), então podemos substituir
diretamente:
Interpretação rápida: a reta tangente em
tem inclinação
.
Passo 6
Verificação rápida (opcional, só para conferir): aplicar a regra do quociente lembrando-a como
onde
e
. Aqui
e
. Então
Avaliar em
dá
confirmando o resultado obtido pela definição.