Exercício 13.8 - Hassani - Encontre o fluxo do campo vetorial,
Que atravessa a superfície de uma caixa de lados
e
.
(a) Por integração direta sobre a superfície da caixa.
(b) Usando o Teorema da Divergência e integrando sobre o volume da caixa.
Dica: Use o seu sistema de coordenadas cartesianas com eixos paralelos aos lados da caixa.
(a) Por integração direta sobre a superfície da caixa.
(b) Usando o Teorema da Divergência e integrando sobre o volume da caixa.
Passo 1
O enunciado pede: encontrar o fluxo do campo vetorial
que atravessa a superfície de uma caixa de lados
. São pedidas duas soluções: (a) por integração direta sobre as faces da caixa e (b) usando o Teorema da Divergência integrando no volume.
Informações relevantes que vou usar sem perguntar nada:
- Posiciono o sistema de coordenadas com a origem no centro da caixa e eixos paralelos às arestas (isso é natural e simplifica muito por simetrias). Assim os intervalos das coordenadas são
- O fluxo total pedido é o fluxo através da superfície fechada (orientado para fora).
A resolução começa agora.
Passo 2
Breve revisão do conceito que vamos usar (didática rápida e aplicada): o fluxo de um campo
através de uma superfície
com vetor normal unitário
é
Para uma caixa alinhada aos eixos, a superfície fechada é a união de seis faces planas; em cada face o vetor normal é constante (
) e a integral reduz-se a integrais duplas sobre retângulos. Vou aplicar isso face por face.
Considere as duas faces normais ao eixo
:
(normal
) e
(normal
). O elemento de área é
. Assim a contribuição total das faces
é
Agrupando:
Passo 3
Agora uso a expressão de
:
Observe que a dependência em
está apenas por
no denominador, portanto é par em
:
Logo
ponto a ponto, e portanto
Interpretação didática: cada face em
tem o mesmo valor de
mas com normais opostos, então as contribuições se cancelam.
O mesmo raciocínio vale para as faces normais ao eixo
. As faces estão em
e
. A componente
depende de
apenas como
no denominador, ou seja, é par em
. Portanto
e a contribuição total das faces
é
Finalmente, para as faces normais a
em
e
,
é par em
(dependência apenas via
no denominador), logo
e a contribuição combinada das faces
também se cancela:
Passo 4
Somando as seis faces, o fluxo total por integração direta é
Comentário de amigo: esse tipo de cancelamento por simetria é um truque excelente na prova — percebeu que cada componente é proporcional a uma coordenada diferente, e a dependência no quadrado nas raízes faz com que a função seja par naquela coordenada, gerando o cancelamento entre faces opostas.
Passo 5
Agora (b) pelo Teorema da Divergência (Gauss): para um campo suave no volume
encerrado pela superfície
,
Vou calcular
. Usando derivadas parciais:
Analogamente,
Portanto
Passo 6
Agora integro
no volume simétrico
. Veja a paridade de cada termo:
- O primeiro termo
é ímpar em (trocar por muda o sinal, pois o denominador é par em ). Integrando em sobre o intervalo simétrico dá zero para cada par . Assim a integral tripla do primeiro termo é zero. - O segundo termo
é ímpar em ; integrando em sobre dá zero para cada par . - O terceiro termo
é ímpar em ; integrando em sobre dá zero para cada par .
Portanto cada uma das três integrais parciais do divergente é zero, e assim
Pelo Teorema da Divergência, o fluxo através da superfície é
, conforme obtido por integração direta.
Resposta
0