Exercício 13.8 - Hassani - Encontre o fluxo do campo vetorial,
\vec{A}(x, y, z)=\frac{6 \kappa a^{2} y}{\sqrt{x^{2}+y^{2}+a^{2}}} \hat{\epsilon}_{x}+\frac{3 \kappa a^{2} z}{\sqrt{y^{2}+z^{2}+4 a^{2}}} \hat{\epsilon}_{y}+\frac{2 \kappa a^{2} x}{\sqrt{x^{2}+z^{2}+9 a^{2}}} \hat{\epsilon}_{z}
Que atravessa a superfície de uma caixa de lados L_{x}=2 a, L_{y}=3 a e L_{z}=a.
(a) Por integração direta sobre a superfície da caixa.
(b) Usando o Teorema da Divergência e integrando sobre o volume da caixa.
Dica: Use o seu sistema de coordenadas cartesianas com eixos paralelos aos lados da caixa.

Passo 1

O enunciado pede: encontrar o fluxo do campo vetorial
\vec{A}(x,y,z)=\frac{6\kappa a^{2} y}{\sqrt{x^{2}+y^{2}+a^{2}}}\,\hat{\epsilon}_{x} +\frac{3\kappa a^{2} z}{\sqrt{y^{2}+z^{2}+4a^{2}}}\,\hat{\epsilon}_{y} +\frac{2\kappa a^{2} x}{\sqrt{x^{2}+z^{2}+9a^{2}}}\,\hat{\epsilon}_{z}
que atravessa a superfície de uma caixa de lados L_{x}=2a,\;L_{y}=3a,\;L_{z}=a. São pedidas duas soluções: (a) por integração direta sobre as faces da caixa e (b) usando o Teorema da Divergência integrando no volume.
Informações relevantes que vou usar sem perguntar nada:
  • Posiciono o sistema de coordenadas com a origem no centro da caixa e eixos paralelos às arestas (isso é natural e simplifica muito por simetrias). Assim os intervalos das coordenadas são
x\in[-a,a],\qquad y\in\left[-\tfrac{3a}{2},\tfrac{3a}{2}\right],\qquad z\in\left[-\tfrac{a}{2},\tfrac{a}{2}\right].
  • O fluxo total pedido é o fluxo através da superfície fechada (orientado para fora).
A resolução começa agora.

Passo 2

Breve revisão do conceito que vamos usar (didática rápida e aplicada): o fluxo de um campo \vec{A} através de uma superfície S com vetor normal unitário \hat{n} é
\Phi_S=\iint_{S}\vec{A}\cdot\hat{n}\,dS.
Para uma caixa alinhada aos eixos, a superfície fechada é a união de seis faces planas; em cada face o vetor normal é constante ( \pm\hat{\epsilon}_x,\pm\hat{\epsilon}_y,\pm\hat{\epsilon}_z) e a integral reduz-se a integrais duplas sobre retângulos. Vou aplicar isso face por face.
Considere as duas faces normais ao eixo x: x=+a (normal \hat{n}=+\hat{\epsilon}_x) e x=-a (normal \hat{n}=-\hat{\epsilon}_x). O elemento de área é dS=dy\,dz. Assim a contribuição total das faces x=\pm a é
\Phi_x=\iint_{y,z}\bigl[A_x(x=+a,y,z)\bigr]\,dy\,dz+\iint_{y,z}\bigl[A_x(x=-a,y,z)\cdot(-1)\bigr]\,dy\,dz.
Agrupando:
\Phi_x=\iint_{y,z}\bigl[A_x(+a,y,z)-A_x(-a,y,z)\bigr]\,dy\,dz.

Passo 3

Agora uso a expressão de A_x:
A_x(x,y,z)=\frac{6\kappa a^{2} y}{\sqrt{x^{2}+y^{2}+a^{2}}}.
Observe que a dependência em x está apenas por x^{2} no denominador, portanto é par em x:
A_x(-a,y,z)=\frac{6\kappa a^{2} y}{\sqrt{(-a)^{2}+y^{2}+a^{2}}} =\frac{6\kappa a^{2} y}{\sqrt{a^{2}+y^{2}+a^{2}}}=A_x(+a,y,z).
Logo A_x(+a,y,z)-A_x(-a,y,z)=0 ponto a ponto, e portanto
\Phi_x=0.
Interpretação didática: cada face em x tem o mesmo valor de A_x mas com normais opostos, então as contribuições se cancelam.
O mesmo raciocínio vale para as faces normais ao eixo y. As faces estão em y=+\tfrac{3a}{2} e y=-\tfrac{3a}{2}. A componente
A_y(x,y,z)=\frac{3\kappa a^{2} z}{\sqrt{y^{2}+z^{2}+4a^{2}}}
depende de y apenas como y^{2} no denominador, ou seja, é par em y. Portanto
A_y\!\left(x,\tfrac{3a}{2},z\right)=A_y\!\left(x,-\tfrac{3a}{2},z\right),
e a contribuição total das faces y=\pm\tfrac{3a}{2} é
\Phi_y=0.
Finalmente, para as faces normais a z em z=+\tfrac{a}{2} e z=-\tfrac{a}{2},
A_z(x,y,z)=\frac{2\kappa a^{2} x}{\sqrt{x^{2}+z^{2}+9a^{2}}}
é par em z (dependência apenas via z^{2} no denominador), logo
A_z\!\left(x,y,\tfrac{a}{2}\right)=A_z\!\left(x,y,-\tfrac{a}{2}\right),
e a contribuição combinada das faces z=\pm\tfrac{a}{2} também se cancela:
\Phi_z=0.

Passo 4

Somando as seis faces, o fluxo total por integração direta é
\Phi_{\text{total}}=\Phi_x+\Phi_y+\Phi_z=0+0+0=0.
Comentário de amigo: esse tipo de cancelamento por simetria é um truque excelente na prova — percebeu que cada componente é proporcional a uma coordenada diferente, e a dependência no quadrado nas raízes faz com que a função seja par naquela coordenada, gerando o cancelamento entre faces opostas.

Passo 5

Agora (b) pelo Teorema da Divergência (Gauss): para um campo suave no volume V encerrado pela superfície S,
\iint_{S}\vec{A}\cdot\hat{n}\,dS=\iiint_{V}\nabla\cdot\vec{A}\,dV.
Vou calcular \nabla\cdot\vec{A}. Usando derivadas parciais:
\frac{\partial A_x}{\partial x} =6\kappa a^{2} y\cdot\frac{d}{dx}\left(x^{2}+y^{2}+a^{2}\right)^{-1/2} =6\kappa a^{2} y\left(-\tfrac{1}{2}\right)\cdot\frac{2x}{(x^{2}+y^{2}+a^{2})^{3/2}} =-\frac{6\kappa a^{2} x y}{(x^{2}+y^{2}+a^{2})^{3/2}}.
Analogamente,
\frac{\partial A_y}{\partial y} =-\frac{3\kappa a^{2} y z}{(y^{2}+z^{2}+4a^{2})^{3/2}}, \qquad \frac{\partial A_z}{\partial z} =-\frac{2\kappa a^{2} x z}{(x^{2}+z^{2}+9a^{2})^{3/2}}.
Portanto
\nabla\cdot\vec{A} =-\frac{6\kappa a^{2} x y}{(x^{2}+y^{2}+a^{2})^{3/2}} -\frac{3\kappa a^{2} y z}{(y^{2}+z^{2}+4a^{2})^{3/2}} -\frac{2\kappa a^{2} x z}{(x^{2}+z^{2}+9a^{2})^{3/2}}.

Passo 6

Agora integro \nabla\cdot\vec{A} no volume simétrico x\in[-a,a],\;y\in[-\tfrac{3a}{2},\tfrac{3a}{2}],\;z\in[-\tfrac{a}{2},\tfrac{a}{2}]. Veja a paridade de cada termo:
  • O primeiro termo -\dfrac{6\kappa a^{2} x y}{(x^{2}+y^{2}+a^{2})^{3/2}} é ímpar em x (trocar x por -x muda o sinal, pois o denominador é par em x). Integrando em x sobre o intervalo simétrico [-a,a] dá zero para cada par (y,z). Assim a integral tripla do primeiro termo é zero.
  • O segundo termo -\dfrac{3\kappa a^{2} y z}{(y^{2}+z^{2}+4a^{2})^{3/2}} é ímpar em y; integrando em y sobre \left[-\tfrac{3a}{2},\tfrac{3a}{2}\right] dá zero para cada par (x,z).
  • O terceiro termo -\dfrac{2\kappa a^{2} x z}{(x^{2}+z^{2}+9a^{2})^{3/2}} é ímpar em z; integrando em z sobre \left[-\tfrac{a}{2},\tfrac{a}{2}\right] dá zero para cada par (x,y).
Portanto cada uma das três integrais parciais do divergente é zero, e assim
\iiint_{V}\nabla\cdot\vec{A}\,dV=0.
Pelo Teorema da Divergência, o fluxo através da superfície é 0, conforme obtido por integração direta.

Resposta

0

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