Exercício 1.13.1 - Arfken - Se um campo de força vetorial é dado por:
\vec{F}(x, y, z)=\left(x^{2}+y^{2}+z^{2}\right)^{n}\left[x \hat{\epsilon}_{x}+y \hat{\epsilon}_{y}+z \hat{\epsilon}_{z}\right]
Calcule:
(a) \nabla \cdot \vec{F}
(b) \nabla \times \vec{F}
(c) 0 potencial escalar \varphi(x, y, z) tal que \vec{F}=-\nabla \varphi.
(d) Para que valor de n o campo potencial escalar diverge tanto na origem como no infinito?
Uma observação poderosa e simples aqui: \vec{F} é um campo radial multiplicado por uma função escalar radial. Escrevendo r^{2}=x^{2}+y^{2}+z^{2} e f(r^{2})=r^{2n}, temos
\vec{F}=f(r^{2})\,(x,y,z)=f(r^{2})\,\vec{r}.
A derivada espacial de f(r^{2}) é paralela a \vec{r}: \nabla f\parallel\vec{r}. Então \nabla f\times\vec{r}=0. Usando a identidade vetorial
Alternativa (mais direta): calcular cada componente do rotacional e verificar que as diferenças de derivadas parciais anulam-se porque cada \partial_i (r^{2n}) é proporcional a i-ésima coordenada, levando a termos iguais que se cancelam. Conclusão:
\nabla\times\vec{F}=\vec{0}.]
Passo 4
Encontrar o potencial escalar \varphi tal que \vec{F}=-\nabla\varphi.
Como \nabla\times\vec{F}=\vec{0} em qualquer região simplesmente conexa que não contenha singularidades, \vec{F} é conservativo aí e existe \varphi local tal que \vec{F}=-\nabla\varphi. Vou achar \varphi explicitamente integrando as equações
Mas também \frac{\partial\varphi}{\partial y}=-F_y=-y\,r^{2n}. Logo \partial g/\partial y=0. Analogamente \partial g/\partial z=0. Portanto g é constante e podemos escolher g=0 (constante arbitrária). Concluímos, para n\neq -1,
Para que valor de n o potencial escalar diverge tanto na origem quanto no infinito?
Analisemos o comportamento de \varphi quando r\to 0 e quando r\to\infty.
Caso n\neq -1: escrevemos m=2(n+1) de modo que \varphi\sim -\dfrac{1}{2(n+1)}\,r^{m}.
Se m>0 (ou seja, n+1>0 ou n>-1), então r^{m}\to 0 quando r\to 0 (finite na origem) e r^{m}\to\infty quando r\to\infty (diverge no infinito).
Se m<0 (ou seja, n<-1), então r^{m}\to\infty quando r\to 0 (diverge na origem) e r^{m}\to 0 quando r\to\infty (finite no infinito).
Portanto, para n\neq -1 não há divergência em ambos os limites simultaneamente: ou diverge na origem ou diverge no infinito, mas não nos dois.
Caso n=-1: \varphi=-\ln r + C. O logaritmo diverge quando r\to 0 (pois \ln r\to -\infty, então -\ln r\to +\infty) e também diverge quando r\to\infty (pois \ln r\to +\infty, então -\ln r\to -\infty). Em ambos os limites o módulo de \varphi vai para infinito (há divergência tanto na origem quanto no infinito).
Conclusão: o único valor de n para o qual o potencial diverge tanto na origem quanto no infinito é n=-1.