Exercício 1.13.1 - Arfken - Se um campo de força vetorial é dado por:
\vec{F}(x, y, z)=\left(x^{2}+y^{2}+z^{2}\right)^{n}\left[x \hat{\epsilon}_{x}+y \hat{\epsilon}_{y}+z \hat{\epsilon}_{z}\right]
Calcule:
(a) \nabla \cdot \vec{F}
(b) \nabla \times \vec{F}
(c) 0 potencial escalar \varphi(x, y, z) tal que \vec{F}=-\nabla \varphi.
(d) Para que valor de n o campo potencial escalar diverge tanto na origem como no infinito?

Passo 1

O enunciado nos dá o campo vetorial
\vec{F}(x,y,z)=\left(x^{2}+y^{2}+z^{2}\right)^{n}\left[x\,\hat{\epsilon}_{x}+y\,\hat{\epsilon}_{y}+z\,\hat{\epsilon}_{z}\right].
Lista do que é pedido:
  1. Calcular \nabla\cdot\vec{F}.
  2. Calcular \nabla\times\vec{F}.
  3. Encontrar um potencial escalar \varphi(x,y,z) tal que \vec{F}=-\nabla\varphi (quando existir).
  4. Determinar para que valor de n o potencial escalar diverge tanto na origem quanto no infinito.
Informações relevantes extra que vou usar sem perguntar:
  • Vou usar a notação r^{2}=x^{2}+y^{2}+z^{2} e, quando útil, r=\sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}}.
  • Todas as derivadas parciais serão calculadas com x,y,z independentes.

Passo 2

Calcular \nabla\cdot\vec{F}.
Definição: a divergência de um campo \vec{F}=(F_x,F_y,F_z) é
\nabla\cdot\vec{F}=\frac{\partial F_x}{\partial x}+\frac{\partial F_y}{\partial y}+\frac{\partial F_z}{\partial z}.
Aqui F_x=x\,r^{2n}, F_y=y\,r^{2n}, F_z=z\,r^{2n} com r^{2}=x^{2}+y^{2}+z^{2}.
Vou calcular \frac{\partial F_x}{\partial x} detalhadamente (os outros são análogos).
Usamos a regra do produto: \frac{\partial}{\partial x}(x\,r^{2n}) = r^{2n} + x\frac{\partial}{\partial x}(r^{2n}).
Agora \frac{\partial}{\partial x}(r^{2n}) = 2n\,r^{2n-2}\,x (cadeia: r^{2}=x^{2}+y^{2}+z^{2} então \partial_x r^{2}=2x).
Portanto
\frac{\partial F_x}{\partial x}=r^{2n}+x\cdot(2n\,r^{2n-2}\,x)=r^{2n}+2n\,x^{2}\,r^{2n-2}.
Fazendo o mesmo para y e z e somando,
\nabla\cdot\vec{F}=\big(r^{2n}+2n\,x^{2}r^{2n-2}\big)+\big(r^{2n}+2n\,y^{2}r^{2n-2}\big)+\big(r^{2n}+2n\,z^{2}r^{2n-2}\big).
Agrupando termos:
\nabla\cdot\vec{F}=3\,r^{2n}+2n\,(x^{2}+y^{2}+z^{2})\,r^{2n-2}.
Como x^{2}+y^{2}+z^{2}=r^{2}, temos
\nabla\cdot\vec{F}=(3+2n)\,r^{2n}.

Passo 3

Calcular \nabla\times\vec{F}.
Definição: o rotacional (ou curl) de \vec{F} é
\nabla\times\vec{F}=\begin{vmatrix} \hat{\epsilon}_x & \hat{\epsilon}_y & \hat{\epsilon}_z\\[4pt] \partial_x & \partial_y & \partial_z\\[4pt] F_x & F_y & F_z \end{vmatrix}.
Uma observação poderosa e simples aqui: \vec{F} é um campo radial multiplicado por uma função escalar radial. Escrevendo r^{2}=x^{2}+y^{2}+z^{2} e f(r^{2})=r^{2n}, temos
\vec{F}=f(r^{2})\,(x,y,z)=f(r^{2})\,\vec{r}.
A derivada espacial de f(r^{2}) é paralela a \vec{r}: \nabla f\parallel\vec{r}. Então \nabla f\times\vec{r}=0. Usando a identidade vetorial
\nabla\times\big(f\,\vec{r}\big)=(\nabla f)\times\vec{r}+f(\nabla\times\vec{r})
e sabendo que \nabla\times\vec{r}=\vec{0} (pois componentes de \vec{r} são simplesmente x,y,z e seu rotacional é zero), obtemos
\nabla\times\vec{F}=(\nabla f)\times\vec{r}=\vec{0}.
Alternativa (mais direta): calcular cada componente do rotacional e verificar que as diferenças de derivadas parciais anulam-se porque cada \partial_i (r^{2n}) é proporcional a i-ésima coordenada, levando a termos iguais que se cancelam. Conclusão:
\nabla\times\vec{F}=\vec{0}.]

Passo 4

Encontrar o potencial escalar \varphi tal que \vec{F}=-\nabla\varphi.
Como \nabla\times\vec{F}=\vec{0} em qualquer região simplesmente conexa que não contenha singularidades, \vec{F} é conservativo aí e existe \varphi local tal que \vec{F}=-\nabla\varphi. Vou achar \varphi explicitamente integrando as equações
-\frac{\partial\varphi}{\partial x}=F_x = x\,r^{2n},\qquad -\frac{\partial\varphi}{\partial y}=F_y = y\,r^{2n},\qquad -\frac{\partial\varphi}{\partial z}=F_z = z\,r^{2n}.
Integro a primeira: \frac{\partial\varphi}{\partial x}=-x\,r^{2n}. Fixando y,z como constantes,
\varphi(x,y,z)=-\int x\,(x^{2}+y^{2}+z^{2})^{n}\,dx + g(y,z).
Fazendo a substituição u=x^{2}+y^{2}+z^{2} tem-se du=2x\,dx, então
\int x\,(x^{2}+y^{2}+z^{2})^{n}\,dx=\frac{1}{2}\int u^{n}\,du=\frac{1}{2}\cdot\frac{u^{n+1}}{n+1}=\frac{(x^{2}+y^{2}+z^{2})^{\,n+1}}{2(n+1)},
válido quando n\neq -1. Assim, para n\neq -1,
\varphi(x,y,z)=-\frac{(x^{2}+y^{2}+z^{2})^{\,n+1}}{2(n+1)}+g(y,z).
Agora uso a condição com derivada em y:
\frac{\partial\varphi}{\partial y}=-\frac{(n+1)2y\,(x^{2}+y^{2}+z^{2})^{n}}{2(n+1)}+\frac{\partial g}{\partial y}=-y\,r^{2n}+\frac{\partial g}{\partial y}.
Mas também \frac{\partial\varphi}{\partial y}=-F_y=-y\,r^{2n}. Logo \partial g/\partial y=0. Analogamente \partial g/\partial z=0. Portanto g é constante e podemos escolher g=0 (constante arbitrária). Concluímos, para n\neq -1,
\varphi(x,y,z)=-\frac{(x^{2}+y^{2}+z^{2})^{\,n+1}}{2(n+1)}+C.
Caso especial n=-1: então r^{2n}=r^{-2} e F_x=x/r^{2}. Integramos
\frac{\partial\varphi}{\partial x}=-\frac{x}{r^{2}} \implies \varphi=-\int\frac{x}{x^{2}+y^{2}+z^{2}}\,dx + g(y,z).
Usando a substituição u=x^{2}+y^{2}+z^{2} novamente, obtemos
\int\frac{x}{x^{2}+y^{2}+z^{2}}\,dx=\frac{1}{2}\ln(x^{2}+y^{2}+z^{2}),
portanto
\varphi(x,y,z)=-\frac{1}{2}\ln\big(x^{2}+y^{2}+z^{2}\big)+g(y,z).
Derivando em y e comparando com -F_y obtém-se g_y=0 e g_z=0, logo g é constante. Podemos então escrever, lembrando r=\sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}},
\varphi(x,y,z)=-\ln r + C \qquad\text{(para }n=-1\text{)},
pois -\frac{1}{2}\ln r^{2}=-\ln r.
Resumo do passo: o potencial existe (fora da origem) e é
\varphi(x,y,z)=\begin{cases} -\dfrac{(x^{2}+y^{2}+z^{2})^{\,n+1}}{2(n+1)}+C, & n\neq -1,\\[8pt] -\ln r + C, & n=-1. \end{cases}]

Passo 5

Para que valor de n o potencial escalar diverge tanto na origem quanto no infinito?
Analisemos o comportamento de \varphi quando r\to 0 e quando r\to\infty.
Caso n\neq -1: escrevemos m=2(n+1) de modo que \varphi\sim -\dfrac{1}{2(n+1)}\,r^{m}.
  • Se m>0 (ou seja, n+1>0 ou n>-1), então r^{m}\to 0 quando r\to 0 (finite na origem) e r^{m}\to\infty quando r\to\infty (diverge no infinito).
  • Se m<0 (ou seja, n<-1), então r^{m}\to\infty quando r\to 0 (diverge na origem) e r^{m}\to 0 quando r\to\infty (finite no infinito).
Portanto, para n\neq -1 não há divergência em ambos os limites simultaneamente: ou diverge na origem ou diverge no infinito, mas não nos dois.
Caso n=-1: \varphi=-\ln r + C. O logaritmo diverge quando r\to 0 (pois \ln r\to -\infty, então -\ln r\to +\infty) e também diverge quando r\to\infty (pois \ln r\to +\infty, então -\ln r\to -\infty). Em ambos os limites o módulo de \varphi vai para infinito (há divergência tanto na origem quanto no infinito).
Conclusão: o único valor de n para o qual o potencial diverge tanto na origem quanto no infinito é n=-1.

Resposta

(a) \nabla\cdot\vec{F}=(3+2n)\,(x^{2}+y^{2}+z^{2})^{n}.\) (b) \(\nabla\times\vec{F}=\vec{0}.\) \text{(c)} \(\displaystyle \varphi(x,y,z)=\begin{cases} -\dfrac{(x^{2}+y^{2}+z^{2})^{\,n+1}}{2(n+1)}+C, & n\neq -1,\\[8pt] -\ln\!\big(\sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}}\big)+C, & n=-1, \end{cases}
(d) n=-1.]

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