Exercício 13. As letras abaixo representam números. Quais são?
Passo 1
O enunciado nos dá a igualdade entre duas frações e pede o valor da letra presente:
Dados fornecidos:
- A fração à esquerda é
. - A fração à direita é
.
Pergunta: Qual é o valor de?
Passo 2
Ideia básica que vamos usar (explicação didática): quando temos uma igualdade entre duas frações, podemos manipular ambos os lados da igualdade do mesmo jeito sem alterar a verdade da igualdade. Em particular, podemos:
- multiplicar os dois lados por um mesmo número não nulo para isolar a incógnita, ou
- usar a propriedade das proporções (regra de três) chamada cross-multiplicação: se
então .
Essas operações são válidas porque multiplicar (ou dividir) os dois lados de uma igualdade pelo mesmo número preserva a igualdade.
Passo 3
Método direto e simples: multiplicar ambos os lados da igualdade por
para deixar
isolado no numerador. Partimos de
Multiplicando ambos os lados por
:
Aqui foi usado que, para qualquer número real
e qualquer não nulo
, se
então
.
Passo 4
Agora simplificamos a fração
. Explicação: duas frações são equivalentes se o numerador e o denominador têm um divisor comum; para simplificar dividimos numerador e denominador pelo maior divisor comum. O maior divisor comum de
e
é
, então
Passo 5
Substituindo a fração simplificada na expressão de
:
Agora calculamos
: dividir
por
dá
. Portanto
Passo 6
Verificação alternativa (cross-multiplicação), para reforçar e conferir: a propriedade diz que
Calculando o lado direito:
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Confere com o resultado anterior.