Exercício 0.13 Se a, b \in \mathbb{R}^{+}, mostre que
\frac{a+b}{1+a+b}<\frac{a}{1+a}+\frac{b}{1+b}

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, para a>0 e b>0, vale
\frac{a+b}{1+a+b}<\frac{a}{1+a}+\frac{b}{1+b}.
O que precisamos usar aqui é manipulação algébrica de frações.

Passo 2

Reescrevemos cada fração no formato
\frac{x}{1+x}=1-\frac{1}{1+x}
para x=a e x=b, e também
\frac{a+b}{1+a+b}=1-\frac{1}{1+a+b}.

Passo 3

Calculemos a diferença
\frac{a}{1+a}+\frac{b}{1+b}-\frac{a+b}{1+a+b} = \Bigl(1-\frac{1}{1+a}\Bigr) + \Bigl(1-\frac{1}{1+b}\Bigr) - \Bigl(1-\frac{1}{1+a+b}\Bigr).
Isso é
1-\frac{1}{1+a}-\frac{1}{1+b}+ \frac{1}{1+a+b}.
Colocando tudo sobre o mesmo denominador e simplificando, chega-se a
\frac{ab}{(1+a)(1+b)}.

Passo 4

Como a>0 e b>0 implicam \dfrac{ab}{(1+a)(1+b)}>0, concluímos que
\frac{a}{1+a}+\frac{b}{1+b}-\frac{a+b}{1+a+b}>0,
ou seja
\frac{a+b}{1+a+b}<\frac{a}{1+a}+\frac{b}{1+b}.

Resposta

\frac{a+b}{1+a+b}<\frac{a}{1+a}+\frac{b}{1+b}.

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