Exercício 0.14 Seja
um triângulo retângulo de hipotenusa a e catetos
e c. Mostre que
Passo 1
O enunciado considera um triângulo retângulo de hipotenusa
e catetos
e
, de modo que
e
,
. Queremos mostrar, por indução em
, que
Passo 2
(Base da indução,
). Usando
, temos
Como
e
, segue
logo
Portanto, a propriedade vale para
.
Passo 3
(Passo indutivo). Suponha que, para algum
, valha
Multiplicando ambos os lados por
, obtemos
De novo, como
e
, temos
daí
Isso completa o passo indutivo.
Resposta
Portanto, por indução, para todo
com
vale