Exercício 0.14 Seja A B C um triângulo retângulo de hipotenusa a e catetos b e c. Mostre que
a^{k}>b^{k}+c^{k}, \text { para todo } k \in \mathbb{N}, k \geq 3 .

Passo 1

O enunciado considera um triângulo retângulo de hipotenusa a e catetos b e c, de modo que
a^2 = b^2 + c^2
e a>b>0, a>c>0. Queremos mostrar, por indução em k\in\mathbb{N},\,k\ge3, que
a^k > b^k + c^k.

Passo 2

(Base da indução, k=3). Usando a^2=b^2+c^2, temos
a^3 = a\cdot a^2 = a(b^2 + c^2) = ab^2 + ac^2.
Como a>b e a>c, segue
ab^2 > b^3 \quad\text{e}\quad ac^2 > c^3,
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a^3 = ab^2 + ac^2 > b^3 + c^3.
Portanto, a propriedade vale para k=3.

Passo 3

(Passo indutivo). Suponha que, para algum k\ge3, valha
a^k > b^k + c^k.
Multiplicando ambos os lados por a>0, obtemos
a^{k+1} > a\,(b^k + c^k) = ab^k + ac^k.
De novo, como a>b e a>c, temos
ab^k > b^{k+1} \quad\text{e}\quad ac^k > c^{k+1},
daí
a^{k+1} > b^{k+1} + c^{k+1}.
Isso completa o passo indutivo.

Resposta

Portanto, por indução, para todo k\in\mathbb{N} com k\ge3 vale
a^k > b^k + c^k.

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