Exercício 0.12 (Pequeno Teorema de Fermat) Seja p um número primo. Então, n^{p}-n(n \in \mathbb{N}) é múltiplo de p.

Passo 1

O enunciado pede para provar que, se p é primo, então para todo n\in\mathbb{N} vale
p\mid\bigl(n^p - n\bigr).
O conteúdo principal é teoria dos números: usamos congruências módulo p e o Teorema do Binômio de Newton para obter uma relação de recorrência que nos leva à prova por indução.

Passo 2

Mostramos primeiro que, para todo inteiro k com 1\le k\le p-1, a combinação binomial \binom{p}{k} é múltipla de p. De fato,
\binom{p}{k} =\frac{p!}{k!\,(p-k)!} =\frac{p\,(p-1)!}{k!\,(p-k)!},
logo p divide \binom{p}{k}.

Passo 3

Aplicando o Teorema do Binômio de Newton a (n+1)^p, obtemos
(n+1)^p =\sum_{k=0}^{p}\binom{p}{k}n^k =n^p+\sum_{k=1}^{p-1}\binom{p}{k}n^k+1.
Como cada termo \binom{p}{k}n^k (para 1\le k\le p-1) é divisível por p, segue
(n+1)^p\equiv n^p+1\pmod{p}.
Em outras palavras,
(n+1)^p - (n+1)\equiv n^p - n\pmod{p}.

Passo 4

Fazemos prova por indução em n:
Base n=0: 0^p-0=0 é múltiplo de p.
Passo indutivo: suponha n^p\equiv n\pmod{p}. Então, pelo resultado do Passo 3,
(n+1)^p - (n+1)\equiv n^p - n\equiv 0\pmod{p}.
Logo vale para n+1. Por indução, a relação n^p\equiv n\pmod{p} vale para todo n\in\mathbb{N}.

Resposta

Portanto, para todo n\in\mathbb{N}, p divide n^p - n.

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