Exercício 0.12 (Pequeno Teorema de Fermat) Seja
um número primo. Então,
é múltiplo de
.
Passo 1
O enunciado pede para provar que, se
é primo, então para todo
vale
O conteúdo principal é teoria dos números: usamos congruências módulo
e o Teorema do Binômio de Newton para obter uma relação de recorrência que nos leva à prova por indução.
Passo 2
Mostramos primeiro que, para todo inteiro
com
, a combinação binomial
é múltipla de
. De fato,
logo
divide
.
Passo 3
Aplicando o Teorema do Binômio de Newton a
, obtemos
Como cada termo
(para
) é divisível por
, segue
Em outras palavras,
Passo 4
Fazemos prova por indução em
:
Base :
é múltiplo de
.
Passo indutivo: suponha . Então, pelo resultado do Passo 3,
Base
Passo indutivo: suponha
Logo vale para
. Por indução, a relação
vale para todo
.
Resposta
Portanto, para todo
,
divide
.