EXERCÍCIO 13
A roseta de deformação é montada na superfície de um vaso de pressão. As seguintes leituras são obtidas para cada extensômetro: \varepsilon_{a}=-200 \times 10^{-6}, \varepsilon_{b}=300 \times 10^{-6} e \varepsilon_{c}=250 \times 10^{-6}. Determine as deformações principais no plano.

Passo 1

O enunciado nos dá as leituras de uma roseta de três extensômetros (peguei os ângulos entre os sensores da imagem):
  • \varepsilon_{a} = -200\times10^{-6}.
  • \varepsilon_{b} = 300\times10^{-6}.
  • \varepsilon_{c} = 250\times10^{-6}.
    Da imagem observei que os sensores estão espaçados de 45^\circ: o sensor b está orientado a 0^\circ (eixos coordenados escolhidos com x na direção de b), c está a +45^\circ e a está a -45^\circ em relação a b.
O que o problema pede: determinar as deformações principais no plano (ou seja, os valores numéricos de \varepsilon_{1} e \varepsilon_{2}).

Passo 2

Vamos escrever a fórmula geral que dá a deformação medida por um extensômetro orientado a um ângulo \theta (medida a partir do eixo x) em termos das componentes do tensor de deformação no plano. A fórmula é
\varepsilon_{\theta}=\varepsilon_x\cos^2\theta+\varepsilon_y\sin^2\theta+\gamma_{xy}\sin\theta\cos\theta,
onde:
  • \varepsilon_{\theta} é a deformação medida na direção que faz ângulo \theta com o eixo x;
  • \varepsilon_x e \varepsilon_y são as deformações normais nas direções x e y, respectivamente;
  • \gamma_{xy} é a deformação de cisalhamento de engenharia (valor convencional que aparece nesta fórmula).
    Vou explicar cada termo: \cos^2\theta e \sin^2\theta ponderam quanto de \varepsilon_x e \varepsilon_y aparece na direção \theta; o termo \gamma_{xy}\sin\theta\cos\theta representa contribuição do cisalhamento projetado nessa direção.

Passo 3

Aplicando a fórmula aos três sensores usando as orientações que identifiquei na imagem:
  • Para b com \theta=0^\circ:
\varepsilon_b=\varepsilon_x\cos^2 0^\circ+\varepsilon_y\sin^2 0^\circ+\gamma_{xy}\sin0^\circ\cos0^\circ=\varepsilon_x.
Portanto podemos afirmar imediatamente:
\varepsilon_x=\varepsilon_b=300\times10^{-6}.

Passo 4

Agora escrevo as equações para c ( \theta=+45^\circ) e a ( \theta=-45^\circ). Usando \cos45^\circ=\sin45^\circ=\dfrac{1}{\sqrt{2}} e \sin45^\circ\cos45^\circ=\dfrac{1}{2}, e lembrando que para -45^\circ a última quantidade troca de sinal:
\varepsilon_c=\frac{\varepsilon_x+\varepsilon_y}{2}+\frac{\gamma_{xy}}{2},
\varepsilon_a=\frac{\varepsilon_x+\varepsilon_y}{2}-\frac{\gamma_{xy}}{2}.
Essas duas equações são muito convenientes porque somando e subtraindo elas obtemos \varepsilon_x+\varepsilon_y e \gamma_{xy}.

Passo 5

Somando \varepsilon_c+\varepsilon_a obtemos:
\varepsilon_c+\varepsilon_a=\varepsilon_x+\varepsilon_y.
Logo
\varepsilon_y=\varepsilon_c+\varepsilon_a-\varepsilon_x.
Substituo os valores numéricos (todos em \times10^{-6}):
\varepsilon_y=250\times10^{-6}+(-200)\times10^{-6}-300\times10^{-6}=(250-200-300)\times10^{-6}=-250\times10^{-6}.
Agora obtenho \gamma_{xy} subtraindo \varepsilon_a de \varepsilon_c:
\varepsilon_c-\varepsilon_a=\gamma_{xy}\quad\Rightarrow\quad \gamma_{xy}=250\times10^{-6}-(-200)\times10^{-6}=450\times10^{-6}.
Resumo até aqui:
\varepsilon_x=300\times10^{-6},\qquad \varepsilon_y=-250\times10^{-6},\qquad \gamma_{xy}=450\times10^{-6}.

Passo 6

Agora vamos calcular as deformações principais. A fórmula para as deformações principais (autovalores do tensor de deformação plana) é
\varepsilon_{1,2}=\frac{\varepsilon_x+\varepsilon_y}{2}\pm\sqrt{\left(\frac{\varepsilon_x-\varepsilon_y}{2}\right)^2+\left(\frac{\gamma_{xy}}{2}\right)^2}.
Explico os termos:
  • \dfrac{\varepsilon_x+\varepsilon_y}{2} é a deformação média normal;
  • o radical é a magnitude do desvio em relação à média, que depende tanto da diferença entre \varepsilon_x e \varepsilon_y quanto do cisalhamento \gamma_{xy}.

Passo 7

Calculemos as quantidades numéricas passo a passo.
Média:
\frac{\varepsilon_x+\varepsilon_y}{2}=\frac{300\times10^{-6}+(-250)\times10^{-6}}{2}=\frac{50\times10^{-6}}{2}=25\times10^{-6}.
Metade da diferença:
\frac{\varepsilon_x-\varepsilon_y}{2}=\frac{300\times10^{-6}-(-250)\times10^{-6}}{2}=\frac{550\times10^{-6}}{2}=275\times10^{-6}.
Metade do cisalhamento:
\frac{\gamma_{xy}}{2}=\frac{450\times10^{-6}}{2}=225\times10^{-6}.
Agora o radical:
\sqrt{\left(275\times10^{-6}\right)^2+\left(225\times10^{-6}\right)^2} = \sqrt{(275)^2+(225)^2}\times10^{-6}.
Calcule os quadrados: 275^2=75\,625, 225^2=50\,625. Soma 126\,250. Portanto
\sqrt{126\,250}\times10^{-6}\approx355{,}32\times10^{-6}.
Finalmente:
\varepsilon_1=25\times10^{-6}+355{,}32\times10^{-6}=380{,}32\times10^{-6},
\varepsilon_2=25\times10^{-6}-355{,}32\times10^{-6}=-330{,}32\times10^{-6}.
(Arredondei aqui para três algarismos significativos; em unidades práticas pode-se falar em \varepsilon_1\approx380\times10^{-6} e \varepsilon_2\approx-330\times10^{-6}.)

Passo 8

Opcional — direção das deformações principais (útil para a prova): o ângulo \theta_p medido a partir do eixo x (direção do sensor b) para a direção de \varepsilon_1 satisfaz
\tan(2\theta_p)=\frac{\gamma_{xy}}{\varepsilon_x-\varepsilon_y}=\frac{450\times10^{-6}}{550\times10^{-6}}=\frac{450}{550}=0{,}81818\ldots
Logo
2\theta_p=\arctan(0{,}81818\ldots)\approx39{,}29^\circ,
\theta_p\approx19{,}65^\circ.
Portanto a maior deformação principal ( \varepsilon_1) ocorre num ângulo de aproximadamente 19{,}6^\circ a partir da direção do sensor b.

Resposta

\varepsilon_1=380{,}3\times10^{-6}
\varepsilon_2=-330{,}3\times10^{-6}

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