EXERCÍCIO 13
A roseta de deformação é montada na superfície de um vaso de pressão. As seguintes leituras são obtidas para cada extensômetro:
e
. Determine as deformações principais no plano.
Passo 1
O enunciado nos dá as leituras de uma roseta de três extensômetros (peguei os ângulos entre os sensores da imagem):
-
. -
. -
.
Da imagem observei que os sensores estão espaçados de: o sensor está orientado a (eixos coordenados escolhidos com na direção de ), está a e está a em relação a .
O que o problema pede: determinar as deformações principais no plano (ou seja, os valores numéricos de
e
).
Passo 2
Vamos escrever a fórmula geral que dá a deformação medida por um extensômetro orientado a um ângulo
(medida a partir do eixo
) em termos das componentes do tensor de deformação no plano. A fórmula é
onde:
-
é a deformação medida na direção que faz ângulo com o eixo ; -
e são as deformações normais nas direções e , respectivamente; -
é a deformação de cisalhamento de engenharia (valor convencional que aparece nesta fórmula).
Vou explicar cada termo:e ponderam quanto de e aparece na direção ; o termo representa contribuição do cisalhamento projetado nessa direção.
Passo 3
Aplicando a fórmula aos três sensores usando as orientações que identifiquei na imagem:
- Para
com :
Portanto podemos afirmar imediatamente:
Passo 4
Agora escrevo as equações para
(
) e
(
). Usando
e
, e lembrando que para
a última quantidade troca de sinal:
Essas duas equações são muito convenientes porque somando e subtraindo elas obtemos
e
.
Passo 5
Somando
obtemos:
Logo
Substituo os valores numéricos (todos em
):
Agora obtenho
subtraindo
de
:
Resumo até aqui:
Passo 6
Agora vamos calcular as deformações principais. A fórmula para as deformações principais (autovalores do tensor de deformação plana) é
Explico os termos:
-
é a deformação média normal; - o radical é a magnitude do desvio em relação à média, que depende tanto da diferença entre
e quanto do cisalhamento .
Passo 7
Calculemos as quantidades numéricas passo a passo.
Média:
Metade da diferença:
Metade do cisalhamento:
Agora o radical:
Calcule os quadrados:
,
. Soma
. Portanto
Finalmente:
(Arredondei aqui para três algarismos significativos; em unidades práticas pode-se falar em
e
.)
Passo 8
Opcional — direção das deformações principais (útil para a prova): o ângulo
medido a partir do eixo
(direção do sensor
) para a direção de
satisfaz
Logo
Portanto a maior deformação principal (
) ocorre num ângulo de aproximadamente
a partir da direção do sensor
.