Exercício 16. Nesse exercício assuma que todas as variáveis têm mesmo domínio e vamos omiti-lo.
Teorema 3. Se existe
tal que
e existe
tal que
então existe
tal que
e
.
Em símbolos:
.
Demonstração. Considere o seguinte argumento
-
(premissa)
-
(simplificação de 1)
-
(instanciação existencial de 2)
-
(simplificação de 1)
-
(instanciação existencial de 4)
-
e
(conjunção de 3 e 5)
-
e
(generalização existencial de 7)
(a) Dê um contraexemplo para a afirmação feita no teorema, isto é, encontre um domínio D e predicados P e Q sobre elementos de D para o qual a sentença não vale.
(b) Indique o(s) erro(s) na demonstração.
Em símbolos:
Demonstração. Considere o seguinte argumento
(a) Dê um contraexemplo para a afirmação feita no teorema, isto é, encontre um domínio D e predicados P e Q sobre elementos de D para o qual a sentença não vale.
(b) Indique o(s) erro(s) na demonstração.
Passo 1
O enunciado afirma o “Teorema”
e dá uma “demonstração” usando instâncias existenciais sobre a mesma constante
. Precisamos (a) dar um contraexemplo que torne a implicação falsa e (b) apontar o erro no argumento.
Passo 2
Para o contraexemplo, escolha o domínio
e defina os predicados
Passo 3
Verifique que
é verdadeiro (pois
vale) e
é verdadeiro (pois
vale), mas
é verdadeiro, porque nenhum elemento de
é ao mesmo tempo par e ímpar. Logo a fórmula inteira é falsa em
.
Passo 4
No “argumento” dado, o erro está em reusar a mesma constante
para instanciar ambas as existências. A regra de instanciação existencial exige um símbolo novo para cada quantificador
; não se pode inferir
a partir de
usando o mesmo
já escolhido para
.
Resposta
(a) Um contraexemplo é
,
é par,
é ímpar.
(b) O erro é instanciar as duas existências com a mesma constante ; cada
exige um termo novo e independente.
(b) O erro é instanciar as duas existências com a mesma constante