Exercício 6.8.14. Seja A o operador que, na base canônica \mathcal{B}_{3}=\left\{\mathbf{e}_{1}, \mathbf{e}_{2}, \mathbf{e}_{3}\right\} de \mathbb{R}^{3}, possui a matriz representativa
\left(\begin{array}{ccc} 2 & a & 0 \\\\ -1 & 3 & c \\\ b & 3 & 0 \end{array}\right)
\operatorname{com} a, b, c \in \mathbb{R}.
a) Determinar a e b de modo tal que A\left(\mathbf{e}_{\mathbf{1}}\right) e A\left(\mathbf{e}_{\mathbf{2}}\right) sejam linearmente dependentes, e determinar c de modo tal que exista um vetor \mathbf{v} tal que A(\mathbf{v})=-\mathbf{v}.
b) Com estes valores de a, b, c determinar uma base de \operatorname{Im} A e uma base de \operatorname{ker} A.
c) Com estes valores de a, b, c estabelecer se A è diagonalizável.
Passo 1
O enunciado dá o operador A em \mathbb{R}^3 cuja matriz na base canônica é
\begin{pmatrix} 2 & a & 0\\\\ -1 & 3 & c\\\ b & 3 & 0 \end{pmatrix},
e pede em (a) escolher a,b para que A(e_{1}) e A(e_{2}) sejam LD e achar c de modo que -1 seja autovalor de A. Em (b) queremos, com esses a,b,c, uma base de \Im A e de \ker A. Em (c) testar se A é diagonalizável. Vamos usar dependência linear de colunas, cálculo de determinante para autovalor e depois resolução de sistemas lineares e char-polinômio.
Passo 2
Para ter A(e_{1}) e A(e_{2}) LD, as duas primeiras colunas da matriz devem ser proporcionais. As colunas são