Exercício 0.13. Seja T: \mathbb{R}^{3} \rightarrow \mathbb{R}^{3} uma transformação linear dada por
T(x, y, z)=(x+y+z, x+z, y-z)
a) Prove que T é um isomorfismo.
b) Escreva a transformação inversa T^{-1}(x, y, z).

Passo 1

O enunciado define a transformação linear
T\colon \mathbb{R}^{3}\to\mathbb{R}^{3}, \quad T(x,y,z)=\bigl(x+y+z,\;x+z,\;y-z\bigr).
Queremos (a) mostrar que T é isomorfismo (isto é, bijetora e linear) e (b) encontrar explicitamente T^{-1}. Para isso vamos usar teoria de núcleos de transformações lineares em espaços de mesma dimensão e resolver um sistema linear para a inversa.

Passo 2

Mostramos que \ker T=\{0\}\). Suponha \[T(x,y,z)=(0,0,0),
isto é, o sistema
\begin{cases} x+y+z=0,\\\ x+z=0,\\\ y-z=0 \end{cases}
Temos da terceira equação y=z\]. Substituindo na segunda, \(x+z=0\implies x=-z. Na primeira vem
(-z)+z+z=0\implies z=0,
logo z=0, depois y=0 e x=0. Assim \ker T=\{(0,0,0)\}, o que mostra que T é injetora.

Passo 3

Como \dim\mathbb{R}^{3}=\dim\mathbb{R}^{3} e T é injetora, segue que T é bijetora. Logo T é um isomorfismo linear.

Passo 4

Para achar T^{-1}, seja (u,v,w)\in\mathbb{R}^{3} com
(u,v,w)=T(x,y,z)=(x+y+z,\;x+z,\;y-z).
Resolvemos em ordem: da terceira equação y-z=w\implies y=w+z. Da segunda x+z=v\implies x=v-z. Na primeira
x+y+z=(v-z)+(w+z)+z=v+w+z=u
de onde
z=u-v-w.
Logo
y=w+z=w+(u-v-w)=u-v, \qquad x=v-z=v-(u-v-w)=2v+w-u.
Portanto
T^{-1}(u,v,w)=\bigl(2v+w-u,\;u-v,\;u-v-w\bigr).

Resposta

a) T é isomorfismo, pois \ker T=\{0\} e \dim\mathbb{R}^{3}=\dim\mathbb{R}^{3}.
b) Para (x,y,z)\in\mathbb{R}^{3},
T^{-1}(x,y,z)=\bigl(2y+z-x,\;x-y,\;x-y-z\bigr).

Exercícios relacionados