Exercício 0.8. Considere as seguintes transformações lineares;
  1. T: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R}^{2}, T(x, y)=(3 x-y,-3 x+y).
  2. T: \mathbb{R}^{3} \rightarrow \mathbb{R}^{2}, T(x, y, z)=(x+2 y-z, 2 x-y+z).
  3. T: \mathbb{R}^{3} \rightarrow \mathbb{R}^{3}, T(x, y, z)=(x-2 y-z,-x+2 y+z, x-3 z).
  4. T: \mathbb{R}^{3} \rightarrow \mathbb{R}^{3}, T(x, y, z)=(x-3 y, x-z, z-x).
Para cada uma delas, determine;
a) O núcleo, uma base para o núcleo e sua dimensão. T é injetiva? Justificar.
b) A imagem, uma base para a imagem e sua dimensão. T é sobrejetiva? Justificar.
c) Qual delas é um Isomorfismo?

Passo 1

O enunciado apresenta quatro transformações lineares T cujos domínios e contra-domínios são \mathbb{R}^n. Para cada T queremos:
  • o núcleo \ker T=\{v\mid T(v)=0\}, sua base e \dim\ker T (daí testamos injetividade: T é injetiva se e só se \ker T=\{0\});
  • a imagem \operatorname{Im}T, sua base e \dim\operatorname{Im}T (daí testamos sobrejetividade: T é sobrejetiva se e só se \dim\operatorname{Im}T=\dim contra-domínio);
  • finalmente, quais T são isomorfismos (invertíveis), ou seja, simultaneamente injetivas e sobrejetivas.
    Vamos usar que, para a matriz associada a T, as colunas geram a imagem, e resolver A\,v=0 para o núcleo. O Teorema Núcleo–Imagem diz
\dim\ker T+\dim\operatorname{Im}T=\dim(\text{domínio}).í

Passo 2

Para T:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}^2\), \[T(x,y)=(3x-y,\,-3x+y).
Em forma matricial,
A=\begin{pmatrix}3 & -1\\\ -3 & 1\end{pmatrix}.
(a) Núcleo: resolvemos
\begin{cases} 3x-y=0,\\\\ -3x+y=0, \end{cases}
as duas equações coincidem (a segunda é -1\] vezes a primeira), então \(y=3x. Logo
\ker T=\{(x,3x)\}=\operatorname{span}\{(1,3)\},\quad \dim\ker T=1,
logo T não é injetiva.
(b) Imagem: as colunas de A são (3,-3) e (-1,1), mas (-1,1)=-\tfrac13(3,-3). Então
\operatorname{Im}T=\operatorname{span}\{(3,-3)\},\quad \dim\operatorname{Im}T=1.
Como \dim\operatorname{Im}T=1<2, T não é sobrejetiva.

Passo 3

Para T:\mathbb{R}^3\to\mathbb{R}^2\), \[T(x,y,z)=(x+2y-z,\;2x-y+z),
matriz
A=\begin{pmatrix}1&2&-1\\\ 2&-1&1\end{pmatrix}.
(a) Núcleo: resolvemos
\begin{cases} x+2y-z=0,\\\\ 2x-y+z=0. \end{cases}
Da primeira, x=z-2y\]. Substituindo na segunda: \[2(z-2y)-y+z=0\implies3z-5y=0\implies y=\tfrac35z,\;x=-\tfrac15z.\] Logo \[\ker T=\{z(-\tfrac15,\tfrac35,1)\}=\operatorname{span}\{(-1,3,5)\},\quad \dim\ker T=1,\] não injetiva. (b) Pelo teorema, \(\dim\operatorname{Im}T=3-1=2. As colunas (1,2) e (2,-1) são independentes, então
\operatorname{Im}T=\operatorname{span}\{(1,2),(2,-1)\},\quad \dim\operatorname{Im}T=2.
Como \dim\operatorname{Im}T=2=\dim\mathbb{R}^2, T é sobrejetiva.

Passo 4

Para T:\mathbb{R}^3\to\mathbb{R}^3,
T(x,y,z)=(x-2y-z,\,-x+2y+z,\;x-3z),
matriz
A=\begin{pmatrix}1&-2&-1\\\ -1&2&1\\\ 1&0&-3\end{pmatrix}.
(a) Núcleo: das duas primeiras linhas vem a mesma equação x-2y-z=0. Da terceira, x=3z. Substituindo:
3z-2y-z=0\implies y=z,\;x=3z.
Então
\ker T=\{z(3,1,1)\}=\operatorname{span}\{(3,1,1)\},\quad \dim\ker T=1,
não injetiva.
(b) Pelo teorema, \dim\operatorname{Im}T=3-1=2. Duas colunas independentes, por exemplo (1,-1,1) e (-1,1,-3), formam base de \operatorname{Im}T. Como \dim\operatorname{Im}T=2<3, T não é sobrejetiva.

Passo 5

Para T:\mathbb{R}^3\to\mathbb{R}^3,
T(x,y,z)=(x-3y,\;x-z,\;z-x),
matriz
A=\begin{pmatrix}1&-3&0\\\ 1&0&-1\\\ -1&0&1\end{pmatrix}.
(a) Núcleo: das duas últimas linhas vem x=z. Da primeira, x=3y. Logo
\ker T=\{y(3,1,3)\}=\operatorname{span}\{(3,1,3)\},\quad \dim\ker T=1,
não injetiva.
(b) Pelo teorema, \dim\operatorname{Im}T=3-1=2. Logo não é sobrejetiva em \mathbb{R}^3.

Resposta

Nenhuma das quatro transformações é isomorfismo.

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