T: \mathbb{R}^{3} \rightarrow \mathbb{R}^{3}, T(x, y, z)=(x-3 y, x-z, z-x).
Para cada uma delas, determine;
a) O núcleo, uma base para o núcleo e sua dimensão. T é injetiva? Justificar.
b) A imagem, uma base para a imagem e sua dimensão. T é sobrejetiva? Justificar.
c) Qual delas é um Isomorfismo?
Passo 1
O enunciado apresenta quatro transformações lineares T cujos domínios e contra-domínios são \mathbb{R}^n. Para cada T queremos:
o núcleo \ker T=\{v\mid T(v)=0\}, sua base e \dim\ker T (daí testamos injetividade: T é injetiva se e só se \ker T=\{0\});
a imagem \operatorname{Im}T, sua base e \dim\operatorname{Im}T (daí testamos sobrejetividade: T é sobrejetiva se e só se \dim\operatorname{Im}T=\dim contra-domínio);
finalmente, quais T são isomorfismos (invertíveis), ou seja, simultaneamente injetivas e sobrejetivas.
Vamos usar que, para a matriz associada a T, as colunas geram a imagem, e resolver A\,v=0 para o núcleo. O Teorema Núcleo–Imagem diz
Como \dim\operatorname{Im}T=1<2, T não é sobrejetiva.
Passo 3
Para T:\mathbb{R}^3\to\mathbb{R}^2\),
\[T(x,y,z)=(x+2y-z,\;2x-y+z),
matriz
A=\begin{pmatrix}1&2&-1\\\ 2&-1&1\end{pmatrix}.
(a) Núcleo: resolvemos
\begin{cases} x+2y-z=0,\\\\ 2x-y+z=0. \end{cases}
Da primeira, x=z-2y\]. Substituindo na segunda:
\[2(z-2y)-y+z=0\implies3z-5y=0\implies y=\tfrac35z,\;x=-\tfrac15z.\]
Logo
\[\ker T=\{z(-\tfrac15,\tfrac35,1)\}=\operatorname{span}\{(-1,3,5)\},\quad \dim\ker T=1,\]
não injetiva.
(b) Pelo teorema, \(\dim\operatorname{Im}T=3-1=2. As colunas (1,2) e (2,-1) são independentes, então
não injetiva.
(b) Pelo teorema, \dim\operatorname{Im}T=3-1=2. Duas colunas independentes, por exemplo (1,-1,1) e (-1,1,-3), formam base de \operatorname{Im}T. Como \dim\operatorname{Im}T=2<3, T não é sobrejetiva.