Exercício 1. Verifique se em cada um dos itens o conjunto V, munido das operações \oplus e \odot indicadas, é um espaço vetorial sobre \mathbb{R}.
V \doteq\{f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} ; f(-x)=f(x), para x \in \mathbb{R}\}, munido das operações usuais de funções.

Passo 1

O enunciado define
V = \{\,f\colon \mathbb{R}\to\mathbb{R}\mid f(-x)=f(x)\\ \forall x\in\mathbb{R}\}
com as operações usuais de soma e multiplicação por escalar em funções.
O conteúdo é teoria de espaços vetoriais e, mais precisamente, mostraremos que V é um subespaço (e portanto um espaço vetorial) de \mathcal{F}(\mathbb{R},\mathbb{R}).

Passo 2

Verificamos que V não é vazio exibindo a função zero
0(x)\equiv 0.
De fato,
0(-x)=0=0(x),
logo 0\in V.

Passo 3

Fechamento sob soma: sejam f,g\in V. Então, para todo x,
(f+g)(-x)=f(-x)+g(-x)=f(x)+g(x)=(f+g)(x).
Assim f+g\in V.

Passo 4

Fechamento sob multiplicação escalar: seja \alpha\in\mathbb{R} e f\in V. Então
(\alpha f)(-x)=\alpha\,f(-x)=\alpha\,f(x)=(\alpha f)(x),
logo \alpha f\in V.

Passo 5

Como -1\in\mathbb{R}, do fechamento escalar segue que para cada f\in V o inverso aditivo -f=(-1)\,f também está em V.

Resposta

Sim, V é um espaço vetorial sobre \mathbb{R}, pois contém o vetor zero, e é fechado sob soma e multiplicação por escalar.

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