Exercício 1. Verifique se em cada um dos itens o conjunto
, munido das operações
e
indicadas, é um espaço vetorial sobre
.
, para
, munido das operações usuais de funções.
Passo 1
O enunciado define
com as operações usuais de soma e multiplicação por escalar em funções.
O conteúdo é teoria de espaços vetoriais e, mais precisamente, mostraremos que é um subespaço (e portanto um espaço vetorial) de
.
O conteúdo é teoria de espaços vetoriais e, mais precisamente, mostraremos que
Passo 2
Verificamos que
não é vazio exibindo a função zero
De fato,
logo
.
Passo 3
Fechamento sob soma: sejam
. Então, para todo
,
Assim
.
Passo 4
Fechamento sob multiplicação escalar: seja
e
. Então
logo
.
Passo 5
Como
, do fechamento escalar segue que para cada
o inverso aditivo
também está em
.
Resposta
Sim,
é um espaço vetorial sobre
, pois contém o vetor zero, e é fechado sob soma e multiplicação por escalar.