Exercício 13. Seja X \sim F(m, n), mostre que Y=1 / X \sim F(n, m).

Passo 1

O enunciado diz que X tem distribuição F com graus de liberdade m e n, ou seja X\sim F(m,n), e pede para mostrar que a variável Y=1/X tem distribuição F(n,m). Vamos usar o método de transformação de variáveis (pdf) e a fórmula da densidade da distribuição F.

Passo 2

Recordando a densidade de X\sim F(m,n): para x>0,
f_{X}(x) = \frac{\bigl(\tfrac{m}{n}\bigr)^{\tfrac{m}{2}} \,x^{\tfrac{m}{2}-1}} {B\bigl(\tfrac{m}{2},\tfrac{n}{2}\bigr)} \, \Bigl(1+\tfrac{m}{n}\,x\Bigr)^{-\tfrac{m+n}{2}}.

Passo 3

Definimos Y=1/X. O Jacobiano da transformação x=1/y é
\frac{dx}{dy} =-\frac{1}{y^{2}},
logo em valor absoluto \bigl|dx/dy\bigr|=1/y^{2}. Pelo método de mudança de variável,
f_{Y}(y) = f_{X}\bigl(1/y\bigr)\,\frac{1}{y^{2}}, \quad y>0.

Passo 4

Substituindo x=1/y em f_{X}(x),
f_{Y}(y) = \frac{\bigl(\tfrac{m}{n}\bigr)^{\tfrac{m}{2}} \,(1/y)^{\tfrac{m}{2}-1}} {B\bigl(\tfrac{m}{2},\tfrac{n}{2}\bigr)} \Bigl(1+\tfrac{m}{n}\,\frac{1}{y}\Bigr)^{-\tfrac{m+n}{2}} \cdot\frac{1}{y^{2}}.
Note que (1/y)^{\tfrac{m}{2}-1}\cdot 1/y^{2}=1/y^{\tfrac{m}{2}+1}.

Passo 5

Reescrevendo o fator \displaystyle 1+\frac{m}{n\,y} =\frac{n\,y+m}{n\,y}, temos
\Bigl(1+\tfrac{m}{n\,y}\Bigr)^{-\tfrac{m+n}{2}} =\biggl(\frac{n\,y}{m+n\,y}\biggr)^{\tfrac{m+n}{2}}.
Assim
f_{Y}(y) = \frac{\bigl(\tfrac{m}{n}\bigr)^{\tfrac{m}{2}}} {B\bigl(\tfrac{m}{2},\tfrac{n}{2}\bigr)} \; \frac{1}{y^{\tfrac{m}{2}+1}} \; \biggl(\frac{n\,y}{m+n\,y}\biggr)^{\tfrac{m+n}{2}}.

Passo 6

Agrupando potências de y e constantes, observa-se que isso coincide com a forma
f_{Y}(y) = \frac{\bigl(\tfrac{n}{m}\bigr)^{\tfrac{n}{2}} \,y^{\tfrac{n}{2}-1}} {B\bigl(\tfrac{n}{2},\tfrac{m}{2}\bigr)} \, \Bigl(1+\tfrac{n}{m}\,y\Bigr)^{-\tfrac{m+n}{2}},
que é exatamente a densidade de F(n,m).

Resposta

Logo, Y=1/X\sim F(n,m).

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