Exercício 12. Sejam
e
v. a. independentes tais que
e
, então
Passo 1
O enunciado diz que
e
são independentes com
Queremos mostrar que
tem distribuição
. Para isso, vamos calcular a densidade de
por transformação de variáveis e reconhecer a forma da densidade
.
Passo 2
Escrevemos primeiro as densidades de
e
:
Definimos as variáveis escalonadas
cujas densidades são
Passo 3
Agora considere a transformação
Então
e
. O jacobiano dessa transformação
é
. Como
e
são independentes, a densidade conjunta é
Para obter a densidade marginal de
, integramos em
:
Passo 4
Substituindo as expressões de
e
na integral, obtemos
Agrupando potências de
e constantes:
Passo 5
A integral que aparece é do tipo gama:
com
e
. Logo
Substituindo de volta e simplificando potências de
e
, obtemos
Passo 6
A expressão encontrada coincide exatamente com a densidade da distribuição
, cuja forma é
(com troca dos papéis de
e
conforme a convenção de parâmetros). Concluímos portanto que